《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”
看似简单的余数问题，藏着中国古代数学的巅峰智慧，这就是让西方学者惊叹的「中国剩余定理」，又被称为“韩信点兵”。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202508/jieduzhongguoshengyudinglihanxindianbingbeihoudeqiannianzhihuijintianzhongyunengkandongle.html
今天，我们共同学习，一起揭开这个千年难题的神秘面纱，以后再遇到此类余数问题，你也能像韩信一样秒出答案！文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202508/jieduzhongguoshengyudinglihanxindianbingbeihoudeqiannianzhihuijintianzhongyunengkandongle.html
一、一道让刘邦懵圈的题：韩信是怎么点兵的？
相传刘邦问韩信："你手下有多少士兵？"
韩信答："每3人一列余1人，5人一列余2人，7人一列余4人..."
刘邦听得云里雾里，而韩信早已算出准确数字。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202508/jieduzhongguoshengyudinglihanxindianbingbeihoudeqiannianzhihuijintianzhongyunengkandongle.html
这道题的本质，就是「已知一个数除以不同数的余数，求这个数」。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202508/jieduzhongguoshengyudinglihanxindianbingbeihoudeqiannianzhihuijintianzhongyunengkandongle.html
比如上面《孙子算经》里的经典题： "有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？"文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202508/jieduzhongguoshengyudinglihanxindianbingbeihoudeqiannianzhihuijintianzhongyunengkandongle.html
古人早就总结出解题口诀：
"三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知。"
翻译过来就是：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202508/jieduzhongguoshengyudinglihanxindianbingbeihoudeqiannianzhihuijintianzhongyunengkandongle.html
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除以3的余数×70， -
除以5的余数×21， -
除以7的余数×15， -
总和减去105的倍数，得到最小答案。
按这个方法计算：2×70 + 3×21 + 2×15 = 233，233-2×105=23，所以答案是23。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202508/jieduzhongguoshengyudinglihanxindianbingbeihoudeqiannianzhihuijintianzhongyunengkandongle.html
二、解读中国剩余定理
中国剩余定理的核心，是「构造满足条件的数」。无论遇到多少个余数，只需三步：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202508/jieduzhongguoshengyudinglihanxindianbingbeihoudeqiannianzhihuijintianzhongyunengkandongle.html
第一步：找"特殊数"
针对每个除数，找到一个数：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202508/jieduzhongguoshengyudinglihanxindianbingbeihoudeqiannianzhihuijintianzhongyunengkandongle.html
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能被其他所有除数整除， -
除以当前除数余1。
比如求"除以3余2，除以5余3，除以7余2"：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202508/jieduzhongguoshengyudinglihanxindianbingbeihoudeqiannianzhihuijintianzhongyunengkandongle.html
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找能被5、7整除，且除以3余1的数：70（5×7×2=70，70÷3余1）， -
找能被3、7整除，且除以5余1的数：21（3×7=21，21÷5余1）， -
找能被3、5整除，且除以7余1的数：15（3×5=15，15÷7余1）。
第二步：算"总和"
用每个余数乘以对应的"特殊数"，相加：
2×70（对应除以3余2） + 3×21（对应除以5余3） + 2×15（对应除以7余2）= 233。
第三步：减"公倍数"
减去所有除数的最小公倍数（3×5×7=105）的倍数，直到结果最小：
233 - 2×105 = 23，就是答案。
三、剩余定理的实际应用
【例题1】 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数？
解： 用最普遍的“中国剩余定理”：
标注内容解法与剩余定理略有区别，结果都对
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3、5的公倍数：15、30、45、60……，找出除以7余4的数为60 -
3、7的公倍数：21、42、63、84…… 找出除以5余3的数为：63 -
5、7的公倍数：35、70、105、140……找出除以3余2的数为：35
可见60+63+35=158满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍数的若干倍，使结果在最小公倍数之内。所以答案为：158-105=53
【例题2】 一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数？
解： 将3、5、7、11这4个数3个3个一起分别计算公倍数，如表：
3、5、7的公倍数中被11除余5的数不太好找，但注意到210除以11余1，所以210×5=1050被11除余5，由此可知770 + 693 +165 +1050 = 2678 是符合条件的一个值，但不是最小值，还需要减去3、5、7、11的公倍数使得它小于它们的最小公倍数．由于3、5、7、11的最小公倍数是1155，所以2678-1155×2=368是符合条件的最小值．
四、千年智慧的传承：为什么要学中国剩余定理？
这不仅是解题技巧，更是中国人的逻辑思维巅峰。早在南北朝时期，祖冲之就用它计算历法，比西方早1600年提出类似理论。今天，它还在密码学、计算机领域发光发热——你的手机加密传输，可能就用到了这个原理！
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