泰勒公式
泰勒公式（Taylor展开）是微积分中最重要的公式之一，它用多项式来逼近复杂函数，是数值计算、级数理论和微分方程求解的基石。
一、泰勒中值定理
若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有直到 $n+1$ 阶导数，则：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/tailegongshiwenzijieshaojiamianfeishipinjiaoxueziyuanfenxiang.html
$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_n(x)$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/tailegongshiwenzijieshaojiamianfeishipinjiaoxueziyuanfenxiang.html
其中拉格朗日余项：$R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$（$\xi$ 在 $x$ 与 $x_0$ 之间）文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/tailegongshiwenzijieshaojiamianfeishipinjiaoxueziyuanfenxiang.html
二、麦克劳林公式（$x_0 = 0$ 的特例）
$f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/tailegongshiwenzijieshaojiamianfeishipinjiaoxueziyuanfenxiang.html
三、常见函数的麦克劳林展开式
$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!}$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/tailegongshiwenzijieshaojiamianfeishipinjiaoxueziyuanfenxiang.html
$\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/tailegongshiwenzijieshaojiamianfeishipinjiaoxueziyuanfenxiang.html
$\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/tailegongshiwenzijieshaojiamianfeishipinjiaoxueziyuanfenxiang.html
$\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}$（$-1 < x \leq 1$）文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/tailegongshiwenzijieshaojiamianfeishipinjiaoxueziyuanfenxiang.html
$\dfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$（$|x| < 1$）文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/tailegongshiwenzijieshaojiamianfeishipinjiaoxueziyuanfenxiang.html
$(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots$（$|x| < 1$）文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/tailegongshiwenzijieshaojiamianfeishipinjiaoxueziyuanfenxiang.html
四、皮亚诺余项
$R_n(x) = o((x-x_0)^n)$（当 $x \to x_0$ 时），适用于极限计算。
