线性代数之矩阵的初等变换域线性方程组公式汇集

线性代数 — 矩阵的初等变换与线性方程组

一、矩阵的初等变换

1. 初等行变换（三种）

1. 交换两行：$r_i \leftrightarrow r_j$
2. 某行乘以非零常数：$r_i \times k$（$k \neq 0$）
3. 某行的 $k$ 倍加到另一行：$r_j + k r_i$

二、矩阵的秩

矩阵 $A$ 中不等于 $0$ 的子式的最高阶数称为矩阵的秩，记作 $r(A)$ 或 $\text{rank}(A)$。

标准形：初等变换可将任意 $m \times n$ 矩阵化为 $\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

三、线性方程组的解

$Ax = b$（$A$ 为 $m \times n$ 矩阵）：

• $r(A) \lt r(A|b)$ → 无解
• $r(A) = r(A|b) = n$ → 唯一解
• $r(A) = r(A|b) \lt n$ → 无穷多解（自由变量个数 = $n - r$）

齐次方程组 $Ax = 0$

有非零解的充要条件：$r(A) \lt n$。

四、克莱姆法则（Cramer's Rule）

若 $A$ 为 $n$ 阶方阵且 $|A| \neq 0$，则 $Ax = b$ 的解为：

$x_i = \dfrac{|A_i|}{|A|}$（$A_i$ 为将 $A$ 第 $i$ 列换成 $b$ 所得矩阵）