概率论与数理统计公式总结
本文系统汇总概率论与数理统计的核心公式，涵盖概率计算、随机变量分布、数字特征和统计推断。
一、概率基本公式
加法公式：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201907/bdd3039432.html
乘法公式：$P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201907/bdd3039432.html
全概率公式：$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)P(B|A_i)$（$\{A_i\}$ 为完备事件组）文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201907/bdd3039432.html
贝叶斯公式：$P(A_k|B) = \dfrac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(A_i)P(B|A_i)}$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201907/bdd3039432.html
二、独立性
$A$ 与 $B$ 独立 $\iff P(AB) = P(A)P(B)$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201907/bdd3039432.html
三、离散型随机变量
期望：$E(X) = \sum x_i p_i$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201907/bdd3039432.html
方差：$D(X) = E[(X-E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201907/bdd3039432.html
四、常见分布
| 分布 | 期望 | 方差 |
|---|---|---|
| $X \sim B(n,p)$ | $np$ | $np(1-p)$ |
| $X \sim P(\lambda)$ | $\lambda$ | $\lambda$ |
| $X \sim U(a,b)$ | $\frac{a+b}{2}$ | $\frac{(b-a)^2}{12}$ |
| $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ | $\mu$ | $\sigma^2$ |
| $X \sim E(\lambda)$ | $\frac{1}{\lambda}$ | $\frac{1}{\lambda^2}$ |
五、大数定律与中心极限定理
切比雪夫不等式：$P(|X-\mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201907/bdd3039432.html
独立同分布中心极限定理：$\dfrac{\sum_{i=1}^{n} X_i - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201907/bdd3039432.html 文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201907/bdd3039432.html
