高等数学等式与不等式证明技巧之移项做辅助函数

高等数学：移项做辅助函数证明技巧

在高等数学证明题中，移项构造辅助函数是最核心的技巧之一。其基本思想是将待证等式或不等式变形，构造满足特定定理条件的辅助函数。

一、基本思想

若要证明等式 $F(x) = G(x)$（或不等式），构造辅助函数 $H(x) = F(x) - G(x)$，将问题转化为研究 $H(x)$ 的零点（或单调性）。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202207/gaodengshuxuedengshiyubudengshizhengmingjiqiaozhiyixiangzuofuzhuhanshu.html

二、中值定理中的应用

1. 罗尔定理型

若需证明存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f(\xi) = 0$：构造原函数 $F(x)$ 使 $F'(x) = f(x)$，验证 $F(a) = F(b)$，则由罗尔定理得 $F'(\xi) = f(\xi) = 0$。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202207/gaodengshuxuedengshiyubudengshizhengmingjiqiaozhiyixiangzuofuzhuhanshu.html

2. 拉格朗日中值定理型

证明存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f'(\xi) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$：直接应用拉格朗日定理。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202207/gaodengshuxuedengshiyubudengshizhengmingjiqiaozhiyixiangzuofuzhuhanshu.html

若需证明 $\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$：构造辅助函数 $H(x) = f(x) - \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g(x)$，应用罗尔定理。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202207/gaodengshuxuedengshiyubudengshizhengmingjiqiaozhiyixiangzuofuzhuhanshu.html

三、不等式证明

例：证明当 $x > 0$ 时，$\ln(1+x) < x$。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202207/gaodengshuxuedengshiyubudengshizhengmingjiqiaozhiyixiangzuofuzhuhanshu.html

证：令 $F(x) = \ln(1+x) - x$，则 $F'(x) = \dfrac{1}{1+x} - 1 = -\dfrac{x}{1+x} < 0$（$x > 0$），故 $F(x)$ 严格递减。又 $F(0) = 0$，所以 $F(x) < 0$，即 $\ln(1+x) < x$。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202207/gaodengshuxuedengshiyubudengshizhengmingjiqiaozhiyixiangzuofuzhuhanshu.html

四、方程根的存在性

证明方程 $f(x) = 0$ 在 $(a,b)$ 内至少有一实根：构造原函数 $F(x)$，若 $F(a)$ 与 $F(b)$ 异号或 $F(a) = F(b)$，则由零点定理或罗尔定理得证。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202207/gaodengshuxuedengshiyubudengshizhengmingjiqiaozhiyixiangzuofuzhuhanshu.html

五、关键技巧总结