高等数学高阶导数公式莱布尼茨公式

本文整理高等数学中高阶导数的全部核心公式和莱布尼茨乘积求导法则，涵盖从基础定义到应用技巧。每条公式均采用国际标准数学排版格式呈现。

一、高阶导数定义

函数 $y=f(x)$ 的 $n$ 阶导数定义为 $n-1$ 阶导数的导数：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202207/gaodengshuxuegaojiedaoshugongshilaibunicigongshi.html

$f^{(n)}(x) = \dfrac{d}{dx}[f^{(n-1)}(x)] = \dfrac{d^n y}{dx^n}$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202207/gaodengshuxuegaojiedaoshugongshilaibunicigongshi.html

其中 $f^{(0)}(x)=f(x)$，$f^{(1)}(x)=f'(x)$，$f^{(2)}(x)=f''(x)$，$f^{(3)}(x)=f'''(x)$。$n \geq 4$ 时记作 $f^{(n)}(x)$。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202207/gaodengshuxuegaojiedaoshugongshilaibunicigongshi.html

二、常见函数的高阶导数公式

1. 幂函数

$n$ 为正整数时：$(x^n)^{(m)} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)x^{n-m} = \dfrac{n!}{(n-m)!}x^{n-m}$（$m \leq n$）文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202207/gaodengshuxuegaojiedaoshugongshilaibunicigongshi.html

当 $m > n$ 时：$(x^n)^{(m)} = 0$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202207/gaodengshuxuegaojiedaoshugongshilaibunicigongshi.html

2. 指数函数

$(e^x)^{(n)} = e^x$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202207/gaodengshuxuegaojiedaoshugongshilaibunicigongshi.html

$(a^x)^{(n)} = a^x(\ln a)^n$（$a>0$）文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202207/gaodengshuxuegaojiedaoshugongshilaibunicigongshi.html

3. 正弦函数

$(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \dfrac{n\pi}{2}\right)$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202207/gaodengshuxuegaojiedaoshugongshilaibunicigongshi.html

即：$\sin x \to \cos x \to -\sin x \to -\cos x \to \sin x$（每4阶循环）文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202207/gaodengshuxuegaojiedaoshugongshilaibunicigongshi.html

4. 余弦函数

$(\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \dfrac{n\pi}{2}\right)$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202207/gaodengshuxuegaojiedaoshugongshilaibunicigongshi.html

即：$\cos x \to -\sin x \to -\cos x \to \sin x \to \cos x$（每4阶循环）

5. 对数函数

$(\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{x^n}$（$x>0$）

6. 分式函数

$\left(\dfrac{1}{x}\right)^{(n)} = (-1)^n\dfrac{n!}{x^{n+1}}$

$\left(\dfrac{1}{ax+b}\right)^{(n)} = (-1)^n\dfrac{a^n \cdot n!}{(ax+b)^{n+1}}$

7. 多项式

设 $P_n(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$，则：

$P_n^{(n)}(x) = a_0 \cdot n!$（$n$ 阶导数为常数）

$P_n^{(k)}(x) = 0$（$k > n$）

三、莱布尼茨公式（乘积的高阶导数）★

设 $u=u(x)$ 和 $v=v(x)$ 均 $n$ 阶可导，则：

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot u^{(n-k)} \cdot v^{(k)}$

其中 $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ 为二项式系数。

展开形式：

$(uv)^{(n)} = C_n^0 u^{(n)}v + C_n^1 u^{(n-1)}v' + C_n^2 u^{(n-2)}v'' + \cdots + C_n^{n-1} u'v^{(n-1)} + C_n^n uv^{(n)}$

低阶特例：

$n=1$：$(uv)' = u'v + uv'$

$n=2$：$(uv)'' = u''v + 2u'v' + uv''$

$n=3$：$(uv)''' = u'''v + 3u''v' + 3u'v'' + uv'''$

（系数与二项式展开 $(a+b)^n$ 的系数一致，故称"莱布尼茨公式"）

四、高阶导数的运算法则

$(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)}$

$(Cu)^{(n)} = C \cdot u^{(n)}$（$C$ 为常数）

五、参数方程的高阶导数

若 $\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$，则：

一阶：$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$

二阶：$\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{\psi''(t)\varphi'(t) - \psi'(t)\varphi''(t)}{[\varphi'(t)]^3}$

六、隐函数的高阶导数

对隐函数方程 $F(x,y)=0$ 两边逐次求导，利用复合函数求导法则解出各阶导数。

七、常用高阶导数速查表

八、公式汇总图