本文整理高等数学中极限的全部核心公式，涵盖两个重要极限、等价无穷小、极限运算法则、洛必达法则和常用极限公式。
一、极限的定义
$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A$：当 $x$ 无限趋近于 $x_0$ 时，$f(x)$ 无限趋近于常数 $A$。
$\varepsilon-\delta$ 定义：$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ 0$
二、两个重要极限 ★
第一重要极限：
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$
推论：$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1$，$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\arcsin x}{x} = 1$，$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\arctan x}{x} = 1$
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2}$
第二重要极限：
$\lim\limits_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x = e$
等价形式：$\lim\limits_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$
推论：$\lim\limits_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{a}{x}\right)^{bx} = e^{ab}$
三、等价无穷小替换（$x \to 0$ 时）
| 函数 | 等价无穷小 |
|---|---|
| $\sin x$ | $x$ |
| $\tan x$ | $x$ |
| $\arcsin x$ | $x$ |
| $\arctan x$ | $x$ |
| $\ln(1+x)$ | $x$ |
| $e^x-1$ | $x$ |
| $a^x-1$ | $x\ln a$ |
| $(1+x)^\alpha-1$ | $\alpha x$ |
| $1-\cos x$ | $\dfrac{x^2}{2}$ |
| $x-\sin x$ | $\dfrac{x^3}{6}$ |
| $\tan x-x$ | $\dfrac{x^3}{3}$ |
四、极限的四则运算法则
若 $\lim f(x) = A$，$\lim g(x) = B$（$A,B$ 存在且有限），则：
$\lim[f(x) \pm g(x)] = A \pm B$
$\lim[f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$
$\lim\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{A}{B}$（$B \neq 0$）
$\lim [C \cdot f(x)] = C \cdot A$（$C$ 为常数）
$\lim [f(x)]^n = A^n$
五、夹逼定理（三明治定理）
若在 $x_0$ 的某去心邻域内 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$，且 $\lim g(x) = \lim h(x) = A$，则：
$\lim f(x) = A$
六、单调有界定理
单调递增且有上界的数列必有极限；单调递减且有下界的数列必有极限。
七、洛必达法则
若 $\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}$ 为 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型未定式，且极限 $\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在，则：
$\lim\dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$
可多次使用，每次使用前需验证条件。
八、无穷小的比较
设 $\lim\alpha(x)=0$，$\lim\beta(x)=0$（$x \to x_0$）：
高阶无穷小：$\lim\dfrac{\alpha}{\beta}=0$，记作 $\alpha=o(\beta)$
同阶无穷小：$\lim\dfrac{\alpha}{\beta}=C \neq 0$
等价无穷小：$\lim\dfrac{\alpha}{\beta}=1$，记作 $\alpha \sim \beta$
$k$ 阶无穷小：$\lim\dfrac{\alpha}{\beta^k}=C \neq 0$
九、无穷大的比较
当 $x \to +\infty$ 时，函数趋于无穷大的速度快慢：
$\ln x \ll x^\alpha$（$\alpha>0$）$\ll a^x$（$a>1$）$\ll x!$ $\ll x^x$
十、常用极限公式
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1$
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\arcsin x}{x} = 1$
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\arctan x}{x} = 1$
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1$
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{x} = 1$
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{a^x-1}{x} = \ln a$
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(1+x)^\alpha-1}{x} = \alpha$
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2}$
$\lim\limits_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x = e$
$\lim\limits_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$
$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$
$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$（$a>0$）
$\lim\limits_{x \to 0^+} x^x = 1$
十一、公式汇总图
