高等数学三角函数公式大全
三角函数是高等数学中最基础的超越函数，贯穿微积分、级数和微分方程的学习。本文系统汇总高等数学中必备的三角函数公式。
一、基本关系与诱导公式
平方关系
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
$1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha$
$1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha$
常用诱导公式（$\alpha$ 为任意角）
$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$，$\cos(-\alpha) = \cos\alpha$，$\tan(-\alpha) = -\tan\alpha$
$\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha$，$\cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha$
$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \cos\alpha$，$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \sin\alpha$
二、和差与倍角公式
$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$
$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$
三、万能公式（令 $t = \tan\frac{\alpha}{2}$）
$\sin\alpha = \dfrac{2t}{1+t^2}$
$\cos\alpha = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
$\tan\alpha = \dfrac{2t}{1-t^2}$
四、反三角函数
定义域与值域：
- $y = \arcsin x$：$x \in [-1, 1]$，$y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
- $y = \arccos x$：$x \in [-1, 1]$，$y \in [0, \pi]$
- $y = \arctan x$：$x \in \mathbb{R}$，$y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
恒等式：
$\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$
$\arctan x + \operatorname{arccot} x = \dfrac{\pi}{2}$
五、双曲函数
$\sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$（双曲正弦）
$\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$（双曲余弦）
$\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x} = \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$
恒等式：$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$
