奥数常用公式汇总
一、等差数列
通项公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$（$d$ 为公差）
前 $n$ 项和：$S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \dfrac{n(n-1)}{2}d$
项数公式：$n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1$
二、等比数列
通项公式：$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$（$q$ 为公比）
前 $n$ 项和：$S_n = \dfrac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$（$q \neq 1$）
三、平方和与立方和
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2 = (1 + 2 + \cdots + n)^2$
四、裂项相消
$\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}$
$\dfrac{1}{n(n+k)} = \dfrac{1}{k}\left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+k}\right)$
五、和差倍角公式
$\sin(A \pm B) = \sin A\cos B \pm \cos A\sin B$
$\cos(A \pm B) = \cos A\cos B \mp \sin A\sin B$
$\sin 2A = 2\sin A\cos A$
$\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$
六、鸡兔同笼公式
鸡数 $= \dfrac{总头数 \times 4 - 总脚数}{2}$
兔数 $= \dfrac{总脚数 - 总头数 \times 2}{2}$
七、盈亏问题公式
人数 $= \dfrac{盈 + 亏}{两次分配差}$
八、相遇与追及
相遇时间 $= \dfrac{路程和}{速度之和}$
追及时间 $= \dfrac{路程差}{速度之差}$
