本文汇总高中数学全部核心公式定理，共79条，每条公式配有解析和符号说明。点击下方按钮返回公式搜索工具查看更多学段公式。
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解析几何
圆的标准方程
$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
圆心 $(a,b)$，半径为 $r$ 的圆。
📌 $(a,b)$：圆心，$r$：半径（$r>0$）
两点距离
$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
平面上两点 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 之间的距离。
📌 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$：两点坐标
中点坐标
$\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$
两点连线的中点坐标。
📌 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$：两点坐标
直线斜率
$k = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
过两点直线的斜率 = 纵坐标差 ÷ 横坐标差。
📌 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$：两点坐标，$x_1\neq x_2$
点到直线距离
$d = \dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
点 $(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离。
📌 $(x_0,y_0)$：点的坐标
椭圆标准方程
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
中心在原点，焦点在 $x$ 轴上的椭圆。$a>b$ 时 $c^2=a^2-b^2$，离心率 $e=\frac{c}{a}<1$。
📌 $a$：长半轴，$b$：短半轴，$c$：半焦距
双曲线标准方程
$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$
中心在原点，焦点在 $x$ 轴上的双曲线。$c^2=a^2+b^2$，$e=\frac{c}{a}>1$。渐近线：$y=\pm\frac{b}{a}x$。
📌 $a$：实半轴，$b$：虚半轴
抛物线标准方程
$y^2 = 2px\ (p>0)$
焦点 $(\frac{p}{2},0)$，准线 $x=-\frac{p}{2}$。$p$ 为焦点到准线的距离。
📌 $p$：焦准距（$p>0$）
直线方程(一般式)
$Ax+By+C=0$
直线的一般式方程，法向量为 $(A,B)$。$B=0$ 时垂直于 $x$ 轴；$A=0$ 时垂直于 $y$ 轴。
📌 $(A,B)$：法向量，斜率 $k=-\frac{A}{B}\ (B\neq 0)$
两直线夹角
$\tan\theta = \left|\dfrac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|$
已知两直线斜率 $k_1,k_2$ 求夹角 $\theta$。$k_1=k_2$ 时平行；$k_1k_2=-1$ 时垂直。
📌 $k_1,k_2$：两直线斜率，$\theta$：夹角（锐角）
多面体欧拉公式
$V - E + F = 2$
凸多面体的顶点数$V$、棱数$E$、面数$F$满足：顶点数−棱数+面数=2。如正方体：$8-12+6=2$。
📌 $V$：顶点数，$E$：棱数，$F$：面数
集合
德摩根律
$\complement_U(A \cup B) = \complement_U A \cap \complement_U B$
并集的补集等于补集的交集。
📌 $\complement_U$：在全集 $U$ 中的补集，$\cup$：并集，$\cap$：交集
容斥原理(两个集合)
$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
两个集合并集的元素个数 = 各自元素个数之和 − 交集的元素个数。
📌 $|A|$：集合 $A$ 的元素个数
函数
函数的单调性
$x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)$（递增）
对区间内任意 $x_1
📌 $f(x)$：函数值
函数的奇偶性
$f(-x) = f(x)$（偶函数），$f(-x) = -f(x)$（奇函数）
偶函数图像关于 $y$ 轴对称；奇函数图像关于原点对称。
📌 $f(x)$：函数值
指数运算
$a^m \cdot a^n = a^{m+n},\ \dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\ (a^m)^n=a^{mn}$
同底数幂的乘除法和幂的乘方。
📌 $a$：底数（$a>0$），$m,n$：指数
对数定义
$\log_a N = b \iff a^b = N$
如果 $a^b=N$，那么 $b$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数。
📌 $a$：底数（$a>0,a\neq 1$），$N$：真数（$N>0$），$b$：对数
对数运算法则
$\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N,\ \log_a\frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N,\ \log_a M^n=n\log_a M$
积的对数=对数的和；商的对数=对数的差；幂的对数=指数×对数。
📌 $a>0,a\neq 1$，$M,N>0$
函数定义域求法
分式分母$\neq 0$，偶次根号下$\geq 0$，对数真数$>0$
求定义域需排除分母为零、偶次根号下为负、对数真数非正等情况。
📌 $y=\sqrt{f(x)}$：$f(x)\geq 0$；$y=\frac{1}{f(x)}$：$f(x)\neq 0$
反函数
$y=f(x) \iff x=f^{-1}(y)$
原函数与反函数图像关于直线$y=x$对称。$f^{-1}(f(x))=x$。单调函数必有反函数。
📌 $f^{-1}$：$f$的反函数
幂函数图像
$y=x^a$，$a>1$递增变陡，$0
幂函数图像过$(1,1)$点。$a$为偶数时偶函数；$a$为奇数时奇函数。
📌 $a$：实数指数
三角函数
同角基本关系
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1,\ \tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
正弦平方加余弦平方等于1；正切=正弦÷余弦。
📌 $\alpha$：任意角
两角和的正弦
$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$
两角和的正弦公式。
📌 $\alpha,\beta$：任意角
两角和的余弦
$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$
两角和的余弦公式。
📌 $\alpha,\beta$：任意角
两角和的正切
$\tan(\alpha+\beta) = \dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$
两角和的正切公式。
📌 分母不为零
二倍角公式(sin)
$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
二倍角的正弦等于2倍正弦乘余弦。
📌 $\alpha$：任意角
二倍角公式(cos)
$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha-1 = 1-2\sin^2\alpha$
二倍角的余弦有三种等价形式。
📌 $\alpha$：任意角
诱导公式(口诀)
奇变偶不变，符号看象限
$\frac{k\pi}{2}\pm\alpha$：$k$ 为奇数时函数名变（sin↔cos, tan↔cot），$k$ 为偶数时不变。符号由原函数在对应象限的符号决定。
📌 $k$：整数
正弦定理
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$
三角形中，各边与其对角的正弦之比相等，等于外接圆直径。
📌 $a,b,c$：三边长，$A,B,C$：对应角，$R$：外接圆半径
余弦定理
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
三角形任意一边的平方等于另两边的平方和减去两边与夹角余弦乘积的2倍。
📌 $a,b,c$：三边长，$C$：边 $c$ 的对角
三角形面积(两边夹角)
$S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$
三角形面积 = 两边长度 × 夹角正弦 ÷ 2。
📌 $a,b$：两边长，$C$：夹角
辅助角公式
$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi),\ \tan\varphi=\dfrac{b}{a}$
将正弦和余弦的线性组合化为单一正弦函数，$\sqrt{a^2+b^2}$ 为振幅。
📌 $\varphi$：辅助角（$\tan\varphi=\frac{b}{a}$）
降幂公式
$\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{2},\ \cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}{2}$
将三角函数的平方降为一次，用于积分和化简。由二倍角公式变形得到。
📌 $\alpha$：任意角
三角函数图像变换
$y=A\sin(\omega x+\varphi)+k$
$A$：振幅（纵向拉伸），$\omega$：角频率（$T=\frac{2\pi}{\omega}$），$\varphi$：初相（左右平移），$k$：纵向平移。
📌 $|A|$：振幅，$T$：周期，$\varphi$：相位
数列
等差数列通项
$a_n = a_1 + (n-1)d$
第 $n$ 项 = 首项 +（项数−1）× 公差。
📌 $a_1$：首项，$d$：公差，$n$：项数
等差数列求和
$S_n = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2} = na_1 + \dfrac{n(n-1)}{2}d$
等差数列前 $n$ 项和 =（首项+末项）×项数÷2。
📌 $a_1$：首项，$a_n$：末项，$d$：公差
等比数列通项
$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$
第 $n$ 项 = 首项 × 公比的 $(n-1)$ 次方。
📌 $a_1$：首项，$q$：公比（$q\neq 0$）
等比数列求和
$S_n = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}\ (q \neq 1)$
等比数列前 $n$ 项和公式。$|q|<1$ 时无穷等比级数收敛于 $\frac{a_1}{1-q}$。
📌 $a_1$：首项，$q$：公比
数学归纳法
①证$n=1$成立 ②假设$n=k$成立证$n=k+1$成立 $\implies$对所有正整数成立
用于证明与正整数$n$有关的命题。两步缺一不可：验证基础+递推。
📌 $P(n)$：与正整数$n$有关的命题
数列通项求法
递推 $a_{n+1}=pa_n+q$ 的通项：$a_n=p^{n-1}a_1+q\dfrac{1-p^{n-1}}{1-p}$（$p\neq 1$）
一阶线性递推数列求通项：待定系数法将递推化为等比数列形式。$p=1$时为等差数列。
📌 $a_1$：首项，$p,q$：常数
导数
导数定义
$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数等于函数增量与自变量增量之比的极限。
📌 $\Delta x$：自变量增量
基本求导公式(幂函数)
$(x^n)' = nx^{n-1}$
$x$ 的 $n$ 次方的导数为 $n$ 乘以 $x$ 的 $(n-1)$ 次方。
📌 $n$：实数
基本求导公式(指数)
$(e^x)' = e^x,\ (a^x)' = a^x\ln a$
$e^x$ 的导数等于它本身。
📌 $e \approx 2.71828$
基本求导公式(对数)
$(\ln x)' = \dfrac{1}{x},\ (\log_a x)' = \dfrac{1}{x\ln a}$
自然对数的导数为 $1/x$。
📌 $x>0$
积的求导法则
$(uv)' = u'v + uv'$
两个函数乘积的导数 = 第一项的导数×第二项 + 第一项×第二项的导数。
📌 $u,v$：可导函数
商的求导法则
$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
分式的导数 =（分子导数×分母 − 分子×分母导数）÷ 分母的平方。
📌 $v \neq 0$
复合函数求导(链式法则)
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$
复合函数的导数 = 外层导数 × 内层导数。
📌 $y=f(u),u=g(x)$
导数的几何意义
$f'(x_0) = k_{\text{切线}}$
函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数值 = 曲线在该点切线的斜率。切线方程：$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$。
📌 $k_{\text{切线}}$：切线斜率
导数与单调性
$f'(x)>0$ 递增，$f'(x)<0$ 递减
一阶导数符号判定函数单调性。$f'(x)=0$ 处可能是极值点，需结合二阶导数或符号变化判断。
📌 $f'(x)$：一阶导数
极值判定
$f'(x_0)=0$ 且 $f''(x_0)>0$ 极小值，$f''(x_0)<0$ 极大值
二阶导数判定法：一阶导为零且二阶导为正→极小值；二阶导为负→极大值。
📌 $f''(x)$：二阶导数
定积分几何应用
$S = \int_a^b [f(x)-g(x)]dx$
两条曲线之间的面积=上函数减下函数的定积分。旋转体体积：$V=\pi\int_a^b[f(x)]^2dx$。
📌 $f(x)\geq g(x)$在$[a,b]$上
概率统计
古典概型
$P(A) = \dfrac{m}{n}$
事件 $A$ 的概率 = 有利情况数 $m$ ÷ 总情况数 $n$。
📌 $m$：事件 $A$ 包含的基本事件数，$n$：基本事件总数
条件概率
$P(B|A) = \dfrac{P(AB)}{P(A)}$
在事件 $A$ 发生的条件下事件 $B$ 发生的概率。
📌 $P(A)>0$
全概率公式
$P(B) = \sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$
当 $\{A_i\}$ 构成完备事件组时，$B$ 的概率由各条件下加权求和。
📌 $\{A_i\}$：互斥完备事件组
贝叶斯公式
$P(A_k|B) = \dfrac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)}$
已知结果 $B$ 发生，反推原因 $A_k$ 的概率。
📌 $P(B)>0$
离散型随机变量期望
$E(X)=\sum x_i p_i,\ E(aX+b)=aE(X)+b$
离散型随机变量的数学期望=取值乘概率之和。期望的线性性质。
📌 $X$：离散型随机变量，$p_i$：$P(X=x_i)$
几何概型
$P(A) = \dfrac{\text{构成事件}A\text{的区域测度}}{\text{全部结果的区域测度}}$
样本点等可能出现在有界区域中，概率=区域测度之比（长度比、面积比或体积比）。
📌 测度：长度/面积/体积
多项式
余数定理
$P(x) \div (x-a)$ 的余数为 $P(a)$
多项式 $P(x)$ 除以 $(x-a)$ 的余数等于 $x=a$ 时多项式的值。即 $P(x)=(x-a)Q(x)+P(a)$。
📌 $P(x)$：多项式，$a$：常数，$Q(x)$：商式
因式定理
$(x-a)$ 是 $P(x)$ 的因式 $\iff P(a)=0$
余数定理的推论：$P(a)=0$ 当且仅当 $(x-a)$ 整除 $P(x)$。用于因式分解和求根。
📌 $P(x)$：多项式，$a$：常数
排列组合
排列数公式
$P_n^m = A_n^m = \dfrac{n!}{(n-m)!}$
从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个的有序排列数。$m \leq n$。
📌 $n!$：$n$ 的阶乘，$m$：选取个数
组合数公式
$C_n^m = \binom{n}{m} = \dfrac{n!}{m!(n-m)!}$
从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个的无序组合数。$C_n^0=C_n^n=1$。
📌 $\binom{n}{m}$：二项式系数，$m \leq n$
二项式定理
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$
二项式展开，系数为组合数（杨辉三角）。$\binom{n}{k}$ 为第 $n$ 行第 $k$ 个系数。
📌 $\binom{n}{k}$：二项式系数，$n$：正整数
组合恒等式
$C_n^k = C_n^{n-k},\ C_n^k = C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$
对称性：选$k$个=排除$n-k$个。帕斯卡恒等式（杨辉三角递推）。
📌 $C_n^k$：从$n$个中选$k$个的组合数
复数
复数代数形式
$z = a + bi,\ i^2 = -1$
$a$ 为实部，$b$ 为虚部，$i$ 为虚数单位。$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 为模。
📌 $a$：实部，$b$：虚部，$i$：虚数单位
复数三角形式
$z = r(\cos\theta + i\sin\theta),\ r=|z|$
$r$ 为模，$\theta$ 为辐角。棣莫弗公式：$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$。
📌 $r$：模（$r\geq 0$），$\theta$：辐角
欧拉公式特例
$e^{i\pi} + 1 = 0$
令 $\theta=\pi$ 得到的最美数学公式，凝聚了 $e,i,\pi,1,0$ 五个最重要的数学常数。
📌 $e^{i\pi}=-1$
向量
向量数量积(点积)
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
两向量的数量积 = 模的乘积 × 夹角余弦。$\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0$。
📌 $\theta$：两向量夹角
向量坐标运算
$\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2,y_2)$ 则 $\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$
坐标形式下的数量积 = 对应坐标乘积之和。$|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$。
📌 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$：向量坐标
向量模长公式
$|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2},\ \vec{a}=(x,y)$
平面向量的模（长度）= 各分量平方和的算术平方根。距离公式的基础。
📌 $(x,y)$：向量坐标
向量平行与垂直判定
$\vec{a}\parallel\vec{b}\iff x_1y_2=x_2y_1,\ \vec{a}\perp\vec{b}\iff x_1x_2+y_1y_2=0$
坐标形式下：平行⇔坐标交叉积相等；垂直⇔数量积为0。
📌 $\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2,y_2)$
平面向量基本定理
$\vec{p} = x\vec{e_1} + y\vec{e_2}$
平面上任一向量可唯一表示为两个不共线向量的线性组合。$(x,y)$为坐标。
📌 $\vec{e_1},\vec{e_2}$：基底向量（不共线）
空间向量坐标运算
$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1),\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$：$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$
空间向量数量积=对应坐标乘积之和。$|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$。
📌 $(x,y,z)$：三维坐标
不等式
均值不等式
$\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\ (a,b>0)$
两个正数的算术平均数不小于几何平均数。等号成立当且仅当 $a=b$。可推广到 $n$ 个正数。
📌 $a,b>0$，等号当 $a=b$ 成立
一元二次不等式
$ax^2+bx+c>0$ 的解取决于 $\Delta$ 和 $a$ 的符号
$a>0$ 时抛物线开口向上：$\Delta<0$ 恒成立；$\Delta>0$ 时解在两根之外。
📌 $\Delta=b^2-4ac$，结合二次函数图像求解
绝对值不等式
$|x|0$）。$|x-a|
📌 $a>0$，$|x|$：$x$ 的绝对值
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- 本文由 B D 发表于2026年7月20日 03:05:45
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