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几何
三角形中位线
中位线 $\parallel$ 第三边且 = $\dfrac{1}{2}$第三边
连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半。
📌 $D,E$：$AB,AC$中点，则$DE\parallel BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$
梯形中位线
中位线 = $\dfrac{\text{上底}+\text{下底}}{2}$
梯形两腰中点的连线（中位线）平行于两底，且等于上下底和的一半。
📌 $a$：上底，$b$：下底，中位线$m=\frac{a+b}{2}$
圆周角定理
同弧所对圆周角 = $\dfrac{1}{2}$ 圆心角
圆上同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半。直径所对圆周角为 $90^\circ$。
📌 $\angle APB$：圆周角，$\angle AOB$：圆心角
扇形面积公式
$S = \dfrac{n\pi r^2}{360} = \dfrac{1}{2}lr$
扇形面积 = 圆心角度数×圆面积÷360 = 弧长×半径÷2。
📌 $n$：圆心角度数，$r$：半径，$l$：弧长
勾股定理
$a^2 + b^2 = c^2$
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
📌 $a,b$：直角边，$c$：斜边
三角形内角和
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$
任意三角形三个内角之和等于180度。
📌 $\angle A,\angle B,\angle C$：三角形三个内角
三角形面积(海伦公式)
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\ p=\dfrac{a+b+c}{2}$
已知三边长求面积，$p$ 为半周长。
📌 $a,b,c$：三边长，$p$：半周长
相似三角形判定
$\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF}$
三边对应成比例的两个三角形相似。
📌 对应边比值相等则相似
菱形面积
$S = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$
菱形面积 = 两条对角线乘积的一半。
📌 $d_1,d_2$：菱形的两条对角线
对顶角性质
$\angle 1 = \angle 2$（对顶角相等）
两条直线相交，对顶角相等。邻补角互补：$\angle 1+\angle 3=180^\circ$。
📌 对顶角：两直线相交，不相邻的两个角
平行线性质
$l_1 \parallel l_2 \implies$ 同位角相等，内错角相等，同旁内角互补
两直线平行：同位角相等、内错角相等、同旁内角和为$180^\circ$。反之亦然（判定定理）。
📌 $l_1,l_2$：两条直线
全等三角形判定(SSS)
$AB=DE,\ BC=EF,\ AC=DF \implies \triangle ABC \cong \triangle DEF$
三边对应相等的两个三角形全等（边边边）。三边长度唯一确定三角形形状。
📌 $AB,BC,AC$：第一个三角形的三边，$DE,EF,DF$：第二个三角形的三边
等腰三角形性质
$AB=AC \implies \angle B=\angle C$
等边对等角；三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高重合。
📌 等腰三角形两腰相等，两底角相等
直角三角形性质
$30^\circ$角所对直角边 = $\dfrac{1}{2}$斜边
含30°的直角三角形，短直角边等于斜边的一半。斜边中线等于斜边的一半。
📌 $a$：30°角对边，$c$：斜边，$a=\frac{c}{2}$
全等三角形判定(SAS)
$AB=DE,\ \angle B=\angle E,\ BC=EF \implies \triangle ABC \cong \triangle DEF$
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（边角边）。注意：必须是夹角，不能是任意一角。
📌 角必须是两边的夹角（包含在两边的内部）
全等三角形判定(ASA/AAS)
ASA: $\angle A=\angle D,\ AB=DE,\ \angle B=\angle E$；AAS: $\angle A=\angle D,\ \angle B=\angle E,\ BC=EF$
两角夹边(ASA)或两角对边(AAS)对应相等的两个三角形全等。已知两角可推出第三角。
📌 ASA：边是两角的公共边；AAS：边是其中一角的对边
全等三角形判定(HL)
Rt$\triangle$中：斜边和一直角边对应相等 $\implies$ 两三角形全等
仅适用于直角三角形的判定方法。斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
📌 HL = Hypotenuse（斜边）+ Leg（直角边）
平行四边形判定
$AB \parallel CD$ 且 $AB=CD$，或 $AB \parallel CD$ 且 $AD \parallel BC$
一组对边平行且相等→平行四边形；两组对边分别平行→平行四边形；对角线互相平分→平行四边形。
📌 $AB,CD$：对边
矩形/菱形/正方形性质
矩形：对角线相等 $AC=BD$；菱形：对角线垂直 $AC\perp BD$；正方形：四边相等+四角为直角
矩形四个角是直角；菱形四条边相等；正方形是特殊的矩形也是特殊的菱形。
📌 对角线：连接不相邻顶点的线段
全等三角形性质
$\triangle ABC \cong \triangle DEF \implies$ 对应边相等，对应角相等
全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应角平分线、对应高线均相等。周长相等，面积相等。
📌 $\cong$：全等于
四边形分类
平行四边形$\supset$矩形$\supset$正方形；平行四边形$\supset$菱形$\supset$正方形；梯形+平行四边形=一般四边形
四边形按边平行关系分类。正方形=菱形+矩形（四个角是直角且四边相等）。
📌 两组对边分别平行→平行四边形；只有一组平行→梯形
代数
平方差公式
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
两个数的平方差等于这两个数的和乘以这两个数的差。
📌 $a,b$：任意实数
完全平方公式(和)
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
两个数和的平方等于它们的平方和加上它们积的2倍。
📌 $a,b$：任意实数
完全平方公式(差)
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
两个数差的平方等于它们的平方和减去它们积的2倍。
📌 $a,b$：任意实数
立方和公式
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
两个数的立方和分解。
📌 $a,b$：任意实数
立方差公式
$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
两个数的立方差分解。
📌 $a,b$：任意实数
一元二次方程求根公式
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
对于方程 $ax^2+bx+c=0\ (a\neq 0)$，当判别式 $\Delta=b^2-4ac\geq 0$ 时有实数根。$\Delta>0$：两个不等实根；$\Delta=0$：一个重根；$\Delta<0$：无实根。
📌 $a$：二次项系数，$b$：一次项系数，$c$：常数项，$\Delta$：判别式
韦达定理
$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\ x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根之和与积。
📌 $x_1,x_2$：方程的两个根
不等式性质
$a>b \implies a+c>b+c,\ a>b,c>0 \implies ac>bc$
不等式两边同时加减同一数不等号方向不变；同乘除正数方向不变；乘除负数方向反转。
📌 $a,b,c$：实数
幂的运算性质
$a^m \cdot a^n = a^{m+n},\ (a^m)^n = a^{mn},\ (ab)^n = a^n b^n$
同底数幂相乘指数相加；幂的乘方指数相乘；积的乘方等于各因式乘方之积。
📌 $a,b$：底数，$m,n$：指数
二次根式性质
$\sqrt{a^2}=|a|,\ \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\ (a,b\geq 0)$
二次根式的基本性质：根号下平方等于绝对值；积的算术平方根等于算术平方根之积。
📌 $a,b\geq 0$
科学计数法
$N = a \times 10^n,\ 1 \leq |a| < 10,\ n \in \mathbb{Z}$
用一位整数的小数乘以10的幂表示一个大数或小数。$n>0$ 为大数，$n<0$ 为小数。
📌 $a$：有效数字部分，$n$：指数
配方法
$x^2+bx=(x+\frac{b}{2})^2-\frac{b^2}{4}$
将二次式配成完全平方形式。解二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 时需先除以 $a$ 再配方。
📌 $a,b,c$：系数
黄金比例
$\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$
黄金分割比：将线段分为两段，使全长/长段=长段/短段。斐波那契数列相邻项之比趋近于$\varphi$。
📌 $\varphi$（phi）：黄金比例常数
有理数运算
$|a| = \begin{cases} a & a\geq 0 \\ -a & a<0 \end{cases}$
绝对值：数轴上点到原点的距离。$|a|\geq0$，$|ab|=|a||b|$，$|a+b|\leq|a|+|b|$（三角不等式）。
📌 $|a|$：$a$的绝对值
二元一次方程组
$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}$ 的解：$x=\dfrac{c_1b_2-c_2b_1}{a_1b_2-a_2b_1}, y=\dfrac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}$
克莱姆法则在二维的特例。$a_1b_2-a_2b_1\neq0$时有唯一解（系数行列式不为零）。解法：代入消元法或加减消元法。
📌 $a_1b_2\neq a_2b_1$时有唯一解
因式分解方法
① $ma+mb=m(a+b)$ ② $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ ③ $x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$
四大方法：提取公因式→公式法（平方差/完全平方/立方和差）→十字相乘法→分组分解法。
📌 因式分解=把一个多项式化为几个整式的乘积
分式运算
$\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad\pm bc}{bd},\ \dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd},\ \dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad}{bc}$
分式加减需通分（找最简公分母）；分式乘除直接分子分母对应运算；除式倒乘。结果需化为最简分式。
📌 $b,d\neq0$
整式乘除
$a^m\cdot a^n=a^{m+n},\ a^m\div a^n=a^{m-n}(a\neq 0)$
同底数幂相乘底数不变指数相加；同底数幂相除底数不变指数相减。$a^0=1(a\neq 0)$。
📌 $m,n$：正整数指数
函数
一次函数
$y = kx + b$
$k$ 为斜率，$k>0$ 时函数递增，$k<0$ 时递减。$b$ 为 $y$ 轴截距。
📌 $k$：斜率（$k \neq 0$），$b$：截距
反比例函数
$y = \dfrac{k}{x}\ (k \neq 0)$
$k>0$ 时图像在一、三象限；$k<0$ 时在二、四象限。
📌 $k$：比例常数（$k \neq 0$）
二次函数顶点式
$y = a(x-h)^2 + k$
顶点坐标 $(h,k)$，对称轴 $x=h$。$a>0$ 开口向上，$a<0$ 开口向下。
📌 $(h,k)$：顶点坐标，$a$：开口方向和宽窄
统计
平均数
$\bar{x} = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$
算术平均数 = 所有数据之和 ÷ 数据个数。
📌 $x_i$：第 $i$ 个数据，$n$：数据个数
加权平均数
$\bar{x} = \dfrac{w_1x_1+w_2x_2+\cdots+w_nx_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}$
各数据乘以对应权重之和除以权重之和。
📌 $w_i$：第 $i$ 个数据的权重
方差
$s^2 = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$
方差衡量数据的离散程度，值越大数据越分散。
📌 $\bar{x}$：平均数，$x_i$：各数据
三角函数入门
锐角三角函数
$\sin A=\dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}},\ \cos A=\dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}},\ \tan A=\dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}}$
直角三角形中锐角三角函数定义。$\sin(90^\circ-A)=\cos A$。
📌 $A$：锐角，对边=角$A$的对边，邻边=角$A$的邻边
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