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小学·初中·高中·大学 | 共 0 条公式
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运算规则
加法交换律
$a + b = b + a$
两个数相加，交换加数的位置，和不变。
📌 $a,b$：任意实数
加法结合律
$(a + b) + c = a + (b + c)$
三个数相加，先把前两个数相加再加第三个数，或者先把后两个数相加再加第一个数，和不变。
📌 $a,b,c$：任意实数
乘法交换律
$a \times b = b \times a$
两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
📌 $a,b$：任意实数
乘法结合律
$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
三个数相乘，先乘前两个或先乘后两个，积不变。
📌 $a,b,c$：任意实数
乘法分配律
$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$
一个数乘以两个数的和，等于这个数分别乘以这两个数再相加。
📌 $a,b,c$：任意实数
图形公式
长方形周长
$C = 2(a + b)$
长方形周长 =（长 + 宽）× 2
📌 $a$：长，$b$：宽，$C$：周长
长方形面积
$S = a \times b$
长方形面积 = 长 × 宽
📌 $a$：长，$b$：宽，$S$：面积
正方形周长
$C = 4a$
正方形周长 = 边长 × 4
📌 $a$：边长，$C$：周长
正方形面积
$S = a^2$
正方形面积 = 边长 × 边长
📌 $a$：边长，$S$：面积
三角形面积
$S = \dfrac{1}{2}ah$
三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2
📌 $a$：底边长，$h$：底边对应的高，$S$：面积
平行四边形面积
$S = ah$
平行四边形面积 = 底 × 高
📌 $a$：底边长，$h$：高
梯形面积
$S = \dfrac{(a+b)h}{2}$
梯形面积 =（上底 + 下底）× 高 ÷ 2
📌 $a$：上底，$b$：下底，$h$：高
圆的周长
$C = 2\pi r = \pi d$
圆周长 = 2 × 圆周率 × 半径 = 圆周率 × 直径
📌 $r$：半径，$d$：直径（$d=2r$），$\pi \approx 3.14159$
圆的面积
$S = \pi r^2$
圆面积 = 圆周率 × 半径的平方
📌 $r$：半径，$\pi \approx 3.14159$
长方体体积
$V = abc$
长方体体积 = 长 × 宽 × 高
📌 $a$：长，$b$：宽，$c$：高
正方体体积
$V = a^3$
正方体体积 = 边长的立方
📌 $a$：边长
圆柱体积
$V = \pi r^2 h$
圆柱体积 = 底面积 × 高 = π × 半径² × 高
📌 $r$：底面半径，$h$：高
圆锥体积
$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$
圆锥体积 = 三分之一 × 底面积 × 高
📌 $r$：底面半径，$h$：高
单位换算
长度单位
$1\text{km}=1000\text{m},\ 1\text{m}=100\text{cm}=1000\text{mm}$
长度单位换算关系。
📌 km：千米，m：米，cm：厘米，mm：毫米
面积单位
$1\text{km}^2=100\text{公顷},\ 1\text{m}^2=100\text{dm}^2$
面积单位换算。
📌 km²：平方千米，m²：平方米，dm²：平方分米
体积/容积单位
$1\text{m}^3=1000\text{dm}^3,\ 1\text{L}=1000\text{mL}$
体积和容积单位换算，$1\text{dm}^3 = 1\text{L}$。
📌 m³：立方米，dm³：立方分米，L：升，mL：毫升
重量单位
$1\text{t}=1000\text{kg},\ 1\text{kg}=1000\text{g}$
重量单位换算。
📌 t：吨，kg：千克，g：克
时间单位
$1\text{时}=60\text{分},\ 1\text{分}=60\text{秒}$
时间单位换算。
📌 时：小时，分：分钟，秒：秒
分数
分数加减法
$\dfrac{a}{c} \pm \dfrac{b}{c} = \dfrac{a \pm b}{c}$
同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。
📌 $a,b$：分子，$c$：分母（非零）
分数乘法
$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$
分数乘法：分子乘分子，分母乘分母。
📌 $a,c$：分子，$b,d$：分母（非零）
分数除法
$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$
分数除法：除以一个分数等于乘以它的倒数。
📌 除以 $\frac{c}{d}$ 等于乘以 $\frac{d}{c}$
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代数
平方差公式
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
两个数的平方差等于这两个数的和乘以这两个数的差。
📌 $a,b$：任意实数
完全平方公式(和)
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
两个数和的平方等于它们的平方和加上它们积的2倍。
📌 $a,b$：任意实数
完全平方公式(差)
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
两个数差的平方等于它们的平方和减去它们积的2倍。
📌 $a,b$：任意实数
立方和公式
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
两个数的立方和分解。
📌 $a,b$：任意实数
立方差公式
$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
两个数的立方差分解。
📌 $a,b$：任意实数
一元二次方程求根公式
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
对于方程 $ax^2+bx+c=0\ (a\neq 0)$，当判别式 $\Delta=b^2-4ac\geq 0$ 时有实数根。$\Delta>0$：两个不等实根；$\Delta=0$：一个重根；$\Delta<0$：无实根。
📌 $a$：二次项系数，$b$：一次项系数，$c$：常数项，$\Delta$：判别式
韦达定理
$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\ x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根之和与积。
📌 $x_1,x_2$：方程的两个根
不等式性质
$a>b \implies a+c>b+c,\ a>b,c>0 \implies ac>bc$
不等式两边同时加减同一数不等号方向不变；同乘除正数方向不变；乘除负数方向反转。
📌 $a,b,c$：实数
幂的运算性质
$a^m \cdot a^n = a^{m+n},\ (a^m)^n = a^{mn},\ (ab)^n = a^n b^n$
同底数幂相乘指数相加；幂的乘方指数相乘；积的乘方等于各因式乘方之积。
📌 $a,b$：底数，$m,n$：指数
二次根式性质
$\sqrt{a^2}=|a|,\ \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\ (a,b\geq 0)$
二次根式的基本性质：根号下平方等于绝对值；积的算术平方根等于算术平方根之积。
📌 $a,b\geq 0$
科学计数法
$N = a \times 10^n,\ 1 \leq |a| < 10,\ n \in \mathbb{Z}$
用一位整数的小数乘以10的幂表示一个大数或小数。$n>0$ 为大数，$n<0$ 为小数。
📌 $a$：有效数字部分，$n$：指数
配方法
$x^2+bx=(x+\frac{b}{2})^2-\frac{b^2}{4}$
将二次式配成完全平方形式。解二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 时需先除以 $a$ 再配方。
📌 $a,b,c$：系数
几何
勾股定理
$a^2 + b^2 = c^2$
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
📌 $a,b$：直角边，$c$：斜边
三角形内角和
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$
任意三角形三个内角之和等于180度。
📌 $\angle A,\angle B,\angle C$：三角形三个内角
三角形面积(海伦公式)
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\ p=\dfrac{a+b+c}{2}$
已知三边长求面积，$p$ 为半周长。
📌 $a,b,c$：三边长，$p$：半周长
相似三角形判定
$\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF}$
三边对应成比例的两个三角形相似。
📌 对应边比值相等则相似
菱形面积
$S = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$
菱形面积 = 两条对角线乘积的一半。
📌 $d_1,d_2$：菱形的两条对角线
圆周角定理
同弧所对圆周角 = $\dfrac{1}{2}$ 圆心角
圆上同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半。直径所对圆周角为 $90^\circ$。
📌 $\angle APB$：圆周角，$\angle AOB$：圆心角
弧长公式
$l = \dfrac{n\pi r}{180}$
$n^\circ$ 圆心角所对弧长。$n=360$ 时 $l=2\pi r$（圆周长）。
📌 $n$：圆心角度数，$r$：半径
扇形面积公式
$S = \dfrac{n\pi r^2}{360} = \dfrac{1}{2}lr$
扇形面积 = 圆心角度数×圆面积÷360 = 弧长×半径÷2。
📌 $n$：圆心角度数，$r$：半径，$l$：弧长
函数
一次函数
$y = kx + b$
$k$ 为斜率，$k>0$ 时函数递增，$k<0$ 时递减。$b$ 为 $y$ 轴截距。
📌 $k$：斜率（$k \neq 0$），$b$：截距
二次函数顶点式
$y = a(x-h)^2 + k$
顶点坐标 $(h,k)$，对称轴 $x=h$。$a>0$ 开口向上，$a<0$ 开口向下。
📌 $(h,k)$：顶点坐标，$a$：开口方向和宽窄
统计
平均数
$\bar{x} = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$
算术平均数 = 所有数据之和 ÷ 数据个数。
📌 $x_i$：第 $i$ 个数据，$n$：数据个数
加权平均数
$\bar{x} = \dfrac{w_1x_1+w_2x_2+\cdots+w_nx_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}$
各数据乘以对应权重之和除以权重之和。
📌 $w_i$：第 $i$ 个数据的权重
方差
$s^2 = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$
方差衡量数据的离散程度，值越大数据越分散。
📌 $\bar{x}$：平均数，$x_i$：各数据
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集合
德摩根律
$\complement_U(A \cup B) = \complement_U A \cap \complement_U B$
并集的补集等于补集的交集。
📌 $\complement_U$：在全集 $U$ 中的补集，$\cup$：并集，$\cap$：交集
容斥原理(两个集合)
$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
两个集合并集的元素个数 = 各自元素个数之和 − 交集的元素个数。
📌 $|A|$：集合 $A$ 的元素个数
函数
函数的单调性
$x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)$（递增）
对区间内任意 $x_1
📌 $f(x)$：函数值
函数的奇偶性
$f(-x) = f(x)$（偶函数），$f(-x) = -f(x)$（奇函数）
偶函数图像关于 $y$ 轴对称；奇函数图像关于原点对称。
📌 $f(x)$：函数值
指数运算
$a^m \cdot a^n = a^{m+n},\ \dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\ (a^m)^n=a^{mn}$
同底数幂的乘除法和幂的乘方。
📌 $a$：底数（$a>0$），$m,n$：指数
对数定义
$\log_a N = b \iff a^b = N$
如果 $a^b=N$，那么 $b$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数。
📌 $a$：底数（$a>0,a\neq 1$），$N$：真数（$N>0$），$b$：对数
对数运算法则
$\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N,\ \log_a\frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N,\ \log_a M^n=n\log_a M$
积的对数=对数的和；商的对数=对数的差；幂的对数=指数×对数。
📌 $a>0,a\neq 1$，$M,N>0$
三角函数
同角基本关系
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1,\ \tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
正弦平方加余弦平方等于1；正切=正弦÷余弦。
📌 $\alpha$：任意角
两角和的正弦
$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$
两角和的正弦公式。
📌 $\alpha,\beta$：任意角
两角和的余弦
$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$
两角和的余弦公式。
📌 $\alpha,\beta$：任意角
两角和的正切
$\tan(\alpha+\beta) = \dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$
两角和的正切公式。
📌 分母不为零
二倍角公式(sin)
$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
二倍角的正弦等于2倍正弦乘余弦。
📌 $\alpha$：任意角
二倍角公式(cos)
$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha-1 = 1-2\sin^2\alpha$
二倍角的余弦有三种等价形式。
📌 $\alpha$：任意角
诱导公式(口诀)
奇变偶不变，符号看象限
$\frac{k\pi}{2}\pm\alpha$：$k$ 为奇数时函数名变（sin↔cos, tan↔cot），$k$ 为偶数时不变。符号由原函数在对应象限的符号决定。
📌 $k$：整数
正弦定理
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$
三角形中，各边与其对角的正弦之比相等，等于外接圆直径。
📌 $a,b,c$：三边长，$A,B,C$：对应角，$R$：外接圆半径
余弦定理
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
三角形任意一边的平方等于另两边的平方和减去两边与夹角余弦乘积的2倍。
📌 $a,b,c$：三边长，$C$：边 $c$ 的对角
三角形面积(两边夹角)
$S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$
三角形面积 = 两边长度 × 夹角正弦 ÷ 2。
📌 $a,b$：两边长，$C$：夹角
辅助角公式
$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi),\ \tan\varphi=\dfrac{b}{a}$
将正弦和余弦的线性组合化为单一正弦函数，$\sqrt{a^2+b^2}$ 为振幅。
📌 $\varphi$：辅助角（$\tan\varphi=\frac{b}{a}$）
降幂公式
$\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{2},\ \cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}{2}$
将三角函数的平方降为一次，用于积分和化简。由二倍角公式变形得到。
📌 $\alpha$：任意角
数列
等差数列通项
$a_n = a_1 + (n-1)d$
第 $n$ 项 = 首项 +（项数−1）× 公差。
📌 $a_1$：首项，$d$：公差，$n$：项数
等差数列求和
$S_n = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2} = na_1 + \dfrac{n(n-1)}{2}d$
等差数列前 $n$ 项和 =（首项+末项）×项数÷2。
📌 $a_1$：首项，$a_n$：末项，$d$：公差
等比数列通项
$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$
第 $n$ 项 = 首项 × 公比的 $(n-1)$ 次方。
📌 $a_1$：首项，$q$：公比（$q\neq 0$）
等比数列求和
$S_n = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}\ (q \neq 1)$
等比数列前 $n$ 项和公式。$|q|<1$ 时无穷等比级数收敛于 $\frac{a_1}{1-q}$。
📌 $a_1$：首项，$q$：公比
解析几何
两点距离
$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
平面上两点 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 之间的距离。
📌 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$：两点坐标
中点坐标
$\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$
两点连线的中点坐标。
📌 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$：两点坐标
直线斜率
$k = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
过两点直线的斜率 = 纵坐标差 ÷ 横坐标差。
📌 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$：两点坐标，$x_1\neq x_2$
点到直线距离
$d = \dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
点 $(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离。
📌 $(x_0,y_0)$：点的坐标
圆的标准方程
$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
圆心 $(a,b)$，半径为 $r$ 的圆。
📌 $(a,b)$：圆心，$r$：半径（$r>0$）
椭圆标准方程
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
中心在原点，焦点在 $x$ 轴上的椭圆。$a>b$ 时 $c^2=a^2-b^2$，离心率 $e=\frac{c}{a}<1$。
📌 $a$：长半轴，$b$：短半轴，$c$：半焦距
双曲线标准方程
$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$
中心在原点，焦点在 $x$ 轴上的双曲线。$c^2=a^2+b^2$，$e=\frac{c}{a}>1$。渐近线：$y=\pm\frac{b}{a}x$。
📌 $a$：实半轴，$b$：虚半轴
抛物线标准方程
$y^2 = 2px\ (p>0)$
焦点 $(\frac{p}{2},0)$，准线 $x=-\frac{p}{2}$。$p$ 为焦点到准线的距离。
📌 $p$：焦准距（$p>0$）
直线方程(一般式)
$Ax+By+C=0$
直线的一般式方程，法向量为 $(A,B)$。$B=0$ 时垂直于 $x$ 轴；$A=0$ 时垂直于 $y$ 轴。
📌 $(A,B)$：法向量，斜率 $k=-\frac{A}{B}\ (B\neq 0)$
两直线夹角
$\tan\theta = \left|\dfrac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|$
已知两直线斜率 $k_1,k_2$ 求夹角 $\theta$。$k_1=k_2$ 时平行；$k_1k_2=-1$ 时垂直。
📌 $k_1,k_2$：两直线斜率，$\theta$：夹角（锐角）
导数
导数定义
$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数等于函数增量与自变量增量之比的极限。
📌 $\Delta x$：自变量增量
基本求导公式(幂函数)
$(x^n)' = nx^{n-1}$
$x$ 的 $n$ 次方的导数为 $n$ 乘以 $x$ 的 $(n-1)$ 次方。
📌 $n$：实数
基本求导公式(指数)
$(e^x)' = e^x,\ (a^x)' = a^x\ln a$
$e^x$ 的导数等于它本身。
📌 $e \approx 2.71828$
基本求导公式(对数)
$(\ln x)' = \dfrac{1}{x},\ (\log_a x)' = \dfrac{1}{x\ln a}$
自然对数的导数为 $1/x$。
📌 $x>0$
积的求导法则
$(uv)' = u'v + uv'$
两个函数乘积的导数 = 第一项的导数×第二项 + 第一项×第二项的导数。
📌 $u,v$：可导函数
商的求导法则
$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
分式的导数 =（分子导数×分母 − 分子×分母导数）÷ 分母的平方。
📌 $v \neq 0$
复合函数求导(链式法则)
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$
复合函数的导数 = 外层导数 × 内层导数。
📌 $y=f(u),u=g(x)$
导数的几何意义
$f'(x_0) = k_{\text{切线}}$
函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数值 = 曲线在该点切线的斜率。切线方程：$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$。
📌 $k_{\text{切线}}$：切线斜率
导数与单调性
$f'(x)>0$ 递增，$f'(x)<0$ 递减
一阶导数符号判定函数单调性。$f'(x)=0$ 处可能是极值点，需结合二阶导数或符号变化判断。
📌 $f'(x)$：一阶导数
极值判定
$f'(x_0)=0$ 且 $f''(x_0)>0$ 极小值，$f''(x_0)<0$ 极大值
二阶导数判定法：一阶导为零且二阶导为正→极小值；二阶导为负→极大值。
📌 $f''(x)$：二阶导数
概率统计
古典概型
$P(A) = \dfrac{m}{n}$
事件 $A$ 的概率 = 有利情况数 $m$ ÷ 总情况数 $n$。
📌 $m$：事件 $A$ 包含的基本事件数，$n$：基本事件总数
条件概率
$P(B|A) = \dfrac{P(AB)}{P(A)}$
在事件 $A$ 发生的条件下事件 $B$ 发生的概率。
📌 $P(A)>0$
全概率公式
$P(B) = \sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$
当 $\{A_i\}$ 构成完备事件组时，$B$ 的概率由各条件下加权求和。
📌 $\{A_i\}$：互斥完备事件组
贝叶斯公式
$P(A_k|B) = \dfrac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)}$
已知结果 $B$ 发生，反推原因 $A_k$ 的概率。
📌 $P(B)>0$
多项式
余数定理
$P(x) \div (x-a)$ 的余数为 $P(a)$
多项式 $P(x)$ 除以 $(x-a)$ 的余数等于 $x=a$ 时多项式的值。即 $P(x)=(x-a)Q(x)+P(a)$。
📌 $P(x)$：多项式，$a$：常数，$Q(x)$：商式
因式定理
$(x-a)$ 是 $P(x)$ 的因式 $\iff P(a)=0$
余数定理的推论：$P(a)=0$ 当且仅当 $(x-a)$ 整除 $P(x)$。用于因式分解和求根。
📌 $P(x)$：多项式，$a$：常数
排列组合
排列数公式
$P_n^m = A_n^m = \dfrac{n!}{(n-m)!}$
从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个的有序排列数。$m \leq n$。
📌 $n!$：$n$ 的阶乘，$m$：选取个数
组合数公式
$C_n^m = \binom{n}{m} = \dfrac{n!}{m!(n-m)!}$
从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个的无序组合数。$C_n^0=C_n^n=1$。
📌 $\binom{n}{m}$：二项式系数，$m \leq n$
二项式定理
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$
二项式展开，系数为组合数（杨辉三角）。$\binom{n}{k}$ 为第 $n$ 行第 $k$ 个系数。
📌 $\binom{n}{k}$：二项式系数，$n$：正整数
复数
复数代数形式
$z = a + bi,\ i^2 = -1$
$a$ 为实部，$b$ 为虚部，$i$ 为虚数单位。$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 为模。
📌 $a$：实部，$b$：虚部，$i$：虚数单位
复数三角形式
$z = r(\cos\theta + i\sin\theta),\ r=|z|$
$r$ 为模，$\theta$ 为辐角。棣莫弗公式：$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$。
📌 $r$：模（$r\geq 0$），$\theta$：辐角
向量
向量数量积(点积)
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
两向量的数量积 = 模的乘积 × 夹角余弦。$\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0$。
📌 $\theta$：两向量夹角
向量坐标运算
$\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2,y_2)$ 则 $\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$
坐标形式下的数量积 = 对应坐标乘积之和。$|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$。
📌 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$：向量坐标
向量模长公式
$|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2},\ \vec{a}=(x,y)$
平面向量的模（长度）= 各分量平方和的算术平方根。距离公式的基础。
📌 $(x,y)$：向量坐标
向量平行与垂直判定
$\vec{a}\parallel\vec{b}\iff x_1y_2=x_2y_1,\ \vec{a}\perp\vec{b}\iff x_1x_2+y_1y_2=0$
坐标形式下：平行⇔坐标交叉积相等；垂直⇔数量积为0。
📌 $\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2,y_2)$
不等式
均值不等式
$\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\ (a,b>0)$
两个正数的算术平均数不小于几何平均数。等号成立当且仅当 $a=b$。可推广到 $n$ 个正数。
📌 $a,b>0$，等号当 $a=b$ 成立
一元二次不等式
$ax^2+bx+c>0$ 的解取决于判别式 $\Delta$ 和 $a$ 的符号
$a>0$ 时抛物线开口向上：$\Delta<0$ 恒成立；$\Delta>0$ 时解在两根之外。
📌 $\Delta=b^2-4ac$，结合二次函数图像求解
绝对值不等式
$|x|0$）。$|x-a|
📌 $a>0$，$|x|$：$x$ 的绝对值
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极限
极限的ε-δ定义
$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A \iff \forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,0<|x-x_0|<\delta\implies|f(x)-A|<\varepsilon$
$x$ 趋近 $x_0$ 时 $f(x)$ 趋近于 $A$。
📌 $\varepsilon$（epsilon）：任意小的正数，$\delta$（delta）：对应的正数
两个重要极限(1)
$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$
$x$ 趋于0时 $\frac{\sin x}{x}$ 的极限为1，等价无穷小 $\sin x \sim x$。
📌 $x$：弧度
两个重要极限(2)
$\lim\limits_{x \to \infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x = e$
这个极限定义了自然常数 $e$。
📌 $e \approx 2.718281828$
等价无穷小替换
$x\to 0$ 时：$\sin x\sim x,\ \tan x\sim x,\ \ln(1+x)\sim x,\ e^x-1\sim x,\ 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}$
求极限时可用等价无穷小替换简化计算。
📌 $\sim$：等价于
极限四则运算法则
$\lim(f\pm g)=\lim f\pm\lim g,\ \lim(fg)=\lim f\cdot\lim g$
两个函数极限的和差积商等于各自极限的和差积商（分母极限不为0时商成立）。
📌 $\lim f,\lim g$ 均存在
微积分
不定积分定义
$\int f(x)dx = F(x) + C,\ \text{其中 }F'(x)=f(x)$
不定积分是导数的逆运算，结果为一族函数（包含任意常数 $C$）。
📌 $F(x)$：原函数，$C$：积分常数
基本积分公式
$\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq -1),\ \int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C,\ \int e^x dx=e^x+C,\ \int\sin x dx=-\cos x+C,\ \int\cos x dx=\sin x+C$
常用基本积分公式。
📌 $C$：积分常数
定积分(牛顿-莱布尼茨公式)
$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$
定积分等于原函数在上限和下限处的值之差，是微积分基本定理。
📌 $F(x)$：$f(x)$ 的任一原函数，$a$：下限，$b$：上限
分部积分法
$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
用于计算两个函数乘积的积分，口诀：反对幂指三。
📌 $u,v$：可导函数
换元积分法
$\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du,\ u=g(x)$
通过变量替换 $u=g(x)$ 简化积分计算。
📌 $u=g(x)$：替换变量
泰勒展开式
$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)$
用多项式逼近函数。$R_n(x)$ 为余项，$x_0=0$ 时称为麦克劳林展开。
📌 $f^{(k)}$：$f$ 的 $k$ 阶导数，$R_n$：余项
常见麦克劳林展开
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots,\ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots,\ \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$
常用函数在 $x=0$ 处的泰勒展开。
📌 $n!$：$n$ 的阶乘
拉格朗日中值定理
$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a),\ \xi\in(a,b)$
闭区间上连续可导的函数，区间两端点函数值之差等于某点导数乘以区间长度。
📌 $f$在$[a,b]$上连续且在$(a,b)$内可导，$\xi$为$(a,b)$内某点
洛必达法则
$\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$（$\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型）
求未定式极限时，用分子分母各自求导再取极限。需验证条件：$f,g$ 可导且 $g'\neq 0$。
📌 适用于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式
定积分换元法
$\int_a^b f(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))g'(t)dt$
定积分变量替换时，同时变换被积函数、积分元和上下限。$x=g(t)$，$a=g(\alpha),b=g(\beta)$。
📌 $g(t)$：单调可导函数
反常积分
$\int_a^\infty f(x)dx = \lim\limits_{b\to\infty}\int_a^b f(x)dx$
积分区间为无穷或被积函数无界的积分。若极限存在则收敛，否则发散。
📌 收敛时积分为有限值
线性代数
矩阵乘法
$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$
$A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times p$ 矩阵，$C=AB$ 为 $m\times p$ 矩阵。$C$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列 = $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列对应元素乘积之和。
📌 $a_{ik}$：矩阵 $A$ 的元素，$b_{kj}$：矩阵 $B$ 的元素
行列式(2阶)
$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$
二阶行列式 = 主对角线元素乘积 − 副对角线元素乘积。
📌 $a,b,c,d$：矩阵元素
行列式(3阶)
$\det\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{pmatrix}=a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1-a_1b_3c_2-a_2b_1c_3$
三阶行列式按对角线法则展开（萨鲁斯法则）。
📌 共6项，3正3负
逆矩阵
$A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}A^*$
可逆矩阵的逆 = 伴随矩阵 ÷ 行列式。$|A|\neq 0$ 时 $A$ 可逆。
📌 $|A|$：行列式，$A^*$：伴随矩阵
特征值与特征向量
$A\vec{x} = \lambda\vec{x}$
若存在非零向量 $\vec{x}$ 和数 $\lambda$ 满足此式，则 $\lambda$ 为特征值，$\vec{x}$ 为对应的特征向量。
📌 $A$：方阵，$\lambda$：特征值，$\vec{x}$：特征向量
向量空间
若 $V$ 对加法和数乘封闭，则 $V$ 为向量空间
向量空间的8条公理：加法交换/结合/零元/负元，数乘结合/分配/恒等。$\mathbb{R}^n$ 是最常见的向量空间。
📌 $V$：非空集合，$\mathbb{R}$：实数域
线性变换
$T(\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}) = \alpha T(\vec{u}) + \beta T(\vec{v})$
保持向量加法和数乘的映射。任何线性变换都对应一个矩阵乘法 $\vec{y}=A\vec{x}$。
📌 $T$：线性变换，$A$：变换矩阵
概率论
期望(离散型)
$E(X) = \sum_{i} x_i p_i$
离散型随机变量的数学期望 = 各取值乘对应概率之和。
📌 $x_i$：取值，$p_i$：概率
方差
$D(X) = E[(X-E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2$
方差 = 平方的期望 − 期望的平方。
📌 $E(X)$：期望
正态分布密度
$f(x) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
$\mu$ 为均值，$\sigma$ 为标准差。$\mu=0,\sigma=1$ 时称为标准正态分布 $N(0,1)$。
📌 $\mu$：均值，$\sigma$：标准差（$\sigma>0$）
二项分布
$P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$
$n$ 次独立重复试验中成功 $k$ 次的概率。$X \sim B(n,p)$。
📌 $n$：试验次数，$p$：每次成功概率
泊松分布
$P(X=k) = \dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
描述单位时间内随机事件发生次数的分布。$X \sim P(\lambda)$。
📌 $\lambda$：单位时间内平均发生次数（$\lambda>0$）
大数定律(切比雪夫不等式)
$P(|X-\mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$
随机变量偏离均值的概率受到方差和偏离量的约束。
📌 $\mu$：均值，$\sigma^2$：方差，$\varepsilon$：任意正数
中心极限定理
$\dfrac{\sum X_i - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)$
大量独立同分布随机变量之和近似服从正态分布。
📌 $X_i$：独立同分布随机变量，$n$：样本量
级数
几何级数(等比级数)
$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}\ (|r|<1)$
无穷等比级数，公比绝对值小于1时收敛。$|r|\geq 1$ 时发散。
📌 $a$：首项，$r$：公比
p-级数判别法
$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^p}$ 收敛 $\iff p>1$
p级数：$p>1$ 收敛，$p\leq1$ 发散。$p=1$ 时为调和级数发散，$p=2$ 时收敛于 $\frac{\pi^2}{6}$。
📌 $p$：指数
傅里叶级数
$f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos nx+b_n\sin nx]$
周期函数可展开为三角函数级数（傅里叶展开），用于信号分析和偏微分方程。
📌 $a_n,b_n$：傅里叶系数
多元微积分
偏导数
$\dfrac{\partial f}{\partial x} = \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$
多元函数对一个变量求导时，其他变量视为常数。$\nabla f=(f_x,f_y)$ 为梯度。
📌 $f(x,y)$：二元函数
全微分
$dz = \dfrac{\partial z}{\partial x}dx + \dfrac{\partial z}{\partial y}dy$
全微分 = 各偏导数乘以对应自变量微分的和。用于近似计算 $\Delta z \approx dz$。
📌 $z=f(x,y)$：可微函数
二重积分
$\iint_D f(x,y)dxdy$
二元函数在平面区域 $D$ 上的积分。化为累次积分：先对 $y$ 再对 $x$（或反之）。
📌 $D$：积分区域
微分方程
一阶线性微分方程
$y' + P(x)y = Q(x)$ 的通解：$y = e^{-\int Pdx}\left[\int Q e^{\int Pdx}dx + C\right]$
一阶线性微分方程的标准解法：先求积分因子 $e^{\int Pdx}$，再积分。
📌 $P(x),Q(x)$：已知函数，$C$：任意常数
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- 本文由 B D 发表于2026年7月19日 14:06:57
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