本文汇总大学数学全部核心公式定理，共53条，每条公式配有解析和符号说明。点击下方按钮返回公式搜索工具查看更多学段公式。
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极限
极限的ε-δ定义
$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A \iff \forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,0<|x-x_0|<\delta\implies|f(x)-A|<\varepsilon$
$x$ 趋近 $x_0$ 时 $f(x)$ 趋近于 $A$。
📌 $\varepsilon$（epsilon）：任意小的正数，$\delta$（delta）：对应的正数
两个重要极限(1)
$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$
$x$ 趋于0时 $\frac{\sin x}{x}$ 的极限为1，等价无穷小 $\sin x \sim x$。
📌 $x$：弧度
两个重要极限(2)
$\lim\limits_{x \to \infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x = e$
这个极限定义了自然常数 $e$。
📌 $e \approx 2.718281828$
等价无穷小替换
$x\to 0$ 时：$\sin x\sim x,\ \tan x\sim x,\ \ln(1+x)\sim x,\ e^x-1\sim x,\ 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}$
求极限时可用等价无穷小替换简化计算。
📌 $\sim$：等价于
极限四则运算法则
$\lim(f\pm g)=\lim f\pm\lim g,\ \lim(fg)=\lim f\cdot\lim g$
两个函数极限的和差积商等于各自极限的和差积商（分母极限不为0时商成立）。
📌 $\lim f,\lim g$ 均存在
夹逼定理
$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$且$\lim g=\lim h=A \implies \lim f=A$
函数被两个趋于同一极限的函数夹在中间，则该函数也趋于该极限。
📌 $g(x),h(x)$：上下界函数，$A$：极限值
微积分
不定积分定义
$\int f(x)dx = F(x) + C,\ \text{其中 }F'(x)=f(x)$
不定积分是导数的逆运算，结果为一族函数（包含任意常数 $C$）。
📌 $F(x)$：原函数，$C$：积分常数
基本积分公式
$\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq -1),\ \int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C,\ \int e^x dx=e^x+C,\ \int\sin x dx=-\cos x+C,\ \int\cos x dx=\sin x+C$
常用基本积分公式。
📌 $C$：积分常数
定积分(牛顿-莱布尼茨公式)
$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$
定积分等于原函数在上限和下限处的值之差，是微积分基本定理。
📌 $F(x)$：$f(x)$ 的任一原函数，$a$：下限，$b$：上限
分部积分法
$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
用于计算两个函数乘积的积分，口诀：反对幂指三。
📌 $u,v$：可导函数
换元积分法
$\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du,\ u=g(x)$
通过变量替换 $u=g(x)$ 简化积分计算。
📌 $u=g(x)$：替换变量
泰勒展开式
$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)$
用多项式逼近函数。$R_n(x)$ 为余项，$x_0=0$ 时称为麦克劳林展开。
📌 $f^{(k)}$：$f$ 的 $k$ 阶导数，$R_n$：余项
常见麦克劳林展开
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots,\ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots,\ \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$
常用函数在 $x=0$ 处的泰勒展开。
📌 $n!$：$n$ 的阶乘
拉格朗日中值定理
$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a),\ \xi\in(a,b)$
闭区间上连续可导的函数，区间两端点函数值之差等于某点导数乘以区间长度。
📌 $f$在$[a,b]$上连续且在$(a,b)$内可导，$\xi$为$(a,b)$内某点
洛必达法则
$\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$（$\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型）
求未定式极限时，用分子分母各自求导再取极限。需验证条件：$f,g$ 可导且 $g'\neq 0$。
📌 适用于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式
定积分换元法
$\int_a^b f(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))g'(t)dt$
定积分变量替换时，同时变换被积函数、积分元和上下限。$x=g(t)$，$a=g(\alpha),b=g(\beta)$。
📌 $g(t)$：单调可导函数
反常积分
$\int_a^\infty f(x)dx = \lim\limits_{b\to\infty}\int_a^b f(x)dx$
积分区间为无穷或被积函数无界的积分。若极限存在则收敛，否则发散。
📌 收敛时积分为有限值
柯西中值定理
$\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)},\ \xi\in(a,b)$
拉格朗日中值定理的推广。洛必达法则的理论基础。$g'(x)\neq 0$。
📌 $f,g$在$[a,b]$上连续且在$(a,b)$内可导
拉普拉斯变换
$F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$
将时域函数变换为复频域函数，用于求解线性微分方程。$\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0)$。
📌 $s$：复变量，$F(s)$：$f(t)$的拉普拉斯变换
线性代数
矩阵乘法
$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$
$A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times p$ 矩阵，$C=AB$ 为 $m\times p$ 矩阵。$C$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列 = $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列对应元素乘积之和。
📌 $a_{ik}$：矩阵 $A$ 的元素，$b_{kj}$：矩阵 $B$ 的元素
行列式(2阶)
$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$
二阶行列式 = 主对角线元素乘积 − 副对角线元素乘积。
📌 $a,b,c,d$：矩阵元素
行列式(3阶)
$\det\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{pmatrix}=a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1-a_1b_3c_2-a_2b_1c_3$
三阶行列式按对角线法则展开（萨鲁斯法则）。
📌 共6项，3正3负
逆矩阵
$A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}A^*$
可逆矩阵的逆 = 伴随矩阵 ÷ 行列式。$|A|\neq 0$ 时 $A$ 可逆。
📌 $|A|$：行列式，$A^*$：伴随矩阵
特征值与特征向量
$A\vec{x} = \lambda\vec{x}$
若存在非零向量 $\vec{x}$ 和数 $\lambda$ 满足此式，则 $\lambda$ 为特征值，$\vec{x}$ 为对应的特征向量。
📌 $A$：方阵，$\lambda$：特征值，$\vec{x}$：特征向量
向量空间
若 $V$ 对加法和数乘封闭，则 $V$ 为向量空间
向量空间的8条公理：加法交换/结合/零元/负元，数乘结合/分配/恒等。$\mathbb{R}^n$ 是最常见的向量空间。
📌 $V$：非空集合，$\mathbb{R}$：实数域
线性变换
$T(\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}) = \alpha T(\vec{u}) + \beta T(\vec{v})$
保持向量加法和数乘的映射。任何线性变换都对应一个矩阵乘法 $\vec{y}=A\vec{x}$。
📌 $T$：线性变换，$A$：变换矩阵
矩阵的秩
$r(A)$ = 矩阵$A$的非零子式的最高阶数 = 行秩 = 列秩
秩=线性无关的行数=线性无关的列数。满秩矩阵可逆。$r(AB)\leq\min(r(A),r(B))$。
📌 $r(A)$：矩阵$A$的秩
线性方程组解的结构
$AX=b$有解$\iff r(A)=r(A|b)$；唯一解$\iff r(A)=r(A|b)=n$
齐次方程组$AX=0$恒有零解；有非零解$\iff r(A)
📌 $A$：系数矩阵，$b$：常数项向量，$n$：未知数个数
概率论
期望(离散型)
$E(X) = \sum_{i} x_i p_i$
离散型随机变量的数学期望 = 各取值乘对应概率之和。
📌 $x_i$：取值，$p_i$：概率
方差
$D(X) = E[(X-E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2$
方差 = 平方的期望 − 期望的平方。
📌 $E(X)$：期望
正态分布密度
$f(x) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
$\mu$ 为均值，$\sigma$ 为标准差。$\mu=0,\sigma=1$ 时称为标准正态分布 $N(0,1)$。
📌 $\mu$：均值，$\sigma$：标准差（$\sigma>0$）
二项分布
$P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$
$n$ 次独立重复试验中成功 $k$ 次的概率。$X \sim B(n,p)$。
📌 $n$：试验次数，$p$：每次成功概率
泊松分布
$P(X=k) = \dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
📌 $\lambda$：单位时间内平均发生次数（$\lambda>0$）
大数定律(切比雪夫不等式)
$P(|X-\mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$
随机变量偏离均值的概率受到方差和偏离量的约束。
📌 $\mu$：均值，$\sigma^2$：方差，$\varepsilon$：任意正数
中心极限定理
$\dfrac{\sum X_i - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)$
大量独立同分布随机变量之和近似服从正态分布。
📌 $X_i$：独立同分布随机变量，$n$：样本量
协方差与相关系数
$\text{Cov}(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)],\ \rho=\dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}$
协方差衡量两变量的线性相关程度。$|\rho|\leq1$，$\rho=\pm1$时完全线性相关。
📌 $\rho$：相关系数，$|\rho|\leq1$
极大似然估计
$\hat{\theta}_{MLE} = \arg\max_\theta L(\theta|x) = \arg\max_\theta \prod f(x_i|\theta)$
选择使观测数据出现概率最大的参数值作为估计值。取对数后求导。
📌 $L(\theta|x)$：似然函数，$\theta$：待估参数
全概率公式(连续型)
$P(B) = \int_{-\infty}^{\infty} P(B|X=x)f_X(x)dx$
连续型随机变量条件下，事件$B$的概率=条件概率乘边缘密度的积分。
📌 $f_X(x)$：$X$的概率密度函数
级数
几何级数(等比级数)
$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}\ (|r|<1)$
无穷等比级数，公比绝对值小于1时收敛。$|r|\geq 1$ 时发散。
📌 $a$：首项，$r$：公比
p-级数判别法
$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^p}$ 收敛 $\iff p>1$
p级数：$p>1$ 收敛，$p\leq1$ 发散。$p=1$ 时为调和级数发散，$p=2$ 时收敛于 $\frac{\pi^2}{6}$。
📌 $p$：指数
傅里叶级数
$f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos nx+b_n\sin nx]$
周期函数可展开为三角函数级数（傅里叶展开），用于信号分析和偏微分方程。
📌 $a_n,b_n$：傅里叶系数
幂级数收敛半径
$R = \lim\limits_{n\to\infty} \left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|$（比值法）
幂级数$\sum a_n x^n$的收敛半径$R$：$|x|R$发散。
📌 $a_n$：幂级数系数，$R$：收敛半径
泰勒级数展开
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
光滑函数可展开为幂级数。$a=0$时为麦克劳林级数。收敛半径$R$内等号成立。
📌 $f^{(n)}(a)$：$f$在$a$处的$n$阶导数
多元微积分
偏导数
$\dfrac{\partial f}{\partial x} = \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$
多元函数对一个变量求导时，其他变量视为常数。$\nabla f=(f_x,f_y)$ 为梯度。
📌 $f(x,y)$：二元函数
全微分
$dz = \dfrac{\partial z}{\partial x}dx + \dfrac{\partial z}{\partial y}dy$
全微分 = 各偏导数乘以对应自变量微分的和。用于近似计算 $\Delta z \approx dz$。
📌 $z=f(x,y)$：可微函数
二重积分
$\iint_D f(x,y)dxdy$
二元函数在平面区域 $D$ 上的积分。化为累次积分：先对 $y$ 再对 $x$（或反之）。
📌 $D$：积分区域
曲线积分
$\int_L f(x,y)ds = \int_a^b f(x(t),y(t))\sqrt{x'^2+y'^2}dt$
沿曲线对弧长的积分。第二类曲线积分与路径方向有关。
📌 $L$：积分曲线，$ds$：弧长微元
格林公式
$\oint_L Pdx+Qdy = \iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$
平面闭曲线的曲线积分=其所围区域上的二重积分。是斯托克斯公式的特例。
📌 $L$：分段光滑闭曲线（正向），$D$：$L$所围区域
斯托克斯公式
$\oint_L \vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint_S (\nabla \times \vec{F})\cdot d\vec{S}$
空间闭曲线的环量=其所张曲面上旋度的通量。格林公式和斯托克斯公式都是其特例。
📌 $L$：空间闭曲线，$S$：以$L$为边界的曲面
高斯公式(散度定理)
$\oiint_S \vec{F}\cdot d\vec{S} = \iiint_V \nabla\cdot\vec{F}\ dV$
闭合曲面的通量=曲面所围体积内散度的三重积分。将面积分化为体积分。
📌 $S$：闭曲面，$V$：$S$所围体积
微分方程
一阶线性微分方程
$y' + P(x)y = Q(x)$ 的通解：$y = e^{-\int Pdx}\left[\int Q e^{\int Pdx}dx + C\right]$
一阶线性微分方程的标准解法：先求积分因子 $e^{\int Pdx}$，再积分。
📌 $P(x),Q(x)$：已知函数，$C$：任意常数
复数
欧拉公式
$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$
被誉为数学最美的公式。$e^{i\pi}+1=0$ 联系了$e$、$i$、$\pi$、$1$、$0$五个基本常数。
📌 $e$：自然常数，$i$：虚数单位，$\theta$：弧度
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- 本文由 B D 发表于2026年7月20日 03:05:45
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