三角函数转换公式加求导公式大全

三角函数转换公式加求导公式大全

三角函数是高中数学和大学微积分的核心内容。本文汇总所有常用三角函数转换公式和求导公式，便于查阅和复习。

一、同角三角函数基本关系

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

$1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha$

$1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha$

二、诱导公式

奇变偶不变，符号看象限（口诀）。以下为常用诱导公式：

$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$，$\cos(-\alpha) = \cos\alpha$

$\sin(\pi \pm \alpha) = \mp\sin\alpha$，$\cos(\pi \pm \alpha) = -\cos\alpha$

$\sin\left(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\right) = \cos\alpha$，$\cos\left(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\right) = \mp\sin\alpha$

三、和差公式

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$

$\tan(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$

四、倍角公式

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$

$\tan 2\alpha = \dfrac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$

五、半角公式

$\sin\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{2}}$

$\cos\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 + \cos\alpha}{2}}$

正负号由 $\dfrac{\alpha}{2}$ 所在象限决定。

六、积化和差

$\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]$

$\cos\alpha\sin\beta = \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)]$

$\cos\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]$

$\sin\alpha\sin\beta = -\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)]$

七、和差化积

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$

$\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}$

八、三角函数求导公式

$(\sin x)^{\prime} = \cos x$

$(\cos x)^{\prime} = -\sin x$

$(\tan x)^{\prime} = \sec^2 x$

$(\cot x)^{\prime} = -\csc^2 x$

$(\sec x)^{\prime} = \sec x\tan x$

$(\csc x)^{\prime} = -\csc x\cot x$

$(\arcsin x)^{\prime} = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\arctan x)^{\prime} = \dfrac{1}{1+x^2}$