初中数学公式之圆公式

初中数学公式 — 圆

一、圆的基本概念

在一个平面内，到定点 $O$ 的距离等于定长 $r$ 的所有点组成的图形叫做圆。$O$ 为圆心，$r$ 为半径。

二、圆的基本公式

周长：$C = 2\pi r = \pi d$（$r$ 为半径，$d$ 为直径）

面积：$S = \pi r^2 = \dfrac{1}{4}\pi d^2$

弧长：$l = \dfrac{n\pi r}{180^\circ}$（$n$ 为弧所对圆心角的度数）

扇形面积：$S_{扇} = \dfrac{n\pi r^2}{360^\circ} = \dfrac{1}{2}lr$

三、垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

四、圆心角与圆周角

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、弦相等。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$（同弧 $AB$）

推论：直径所对的圆周角是直角（$90^\circ$）；$90^\circ$ 的圆周角所对的弦是直径。

五、圆与直线的位置关系

设圆心到直线的距离为 $d$，半径为 $r$：

• $d \gt r$ → 相离（无交点）
• $d = r$ → 相切（一个交点，$d \perp$ 切线）
• $d \lt r$ → 相交（两个交点）

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。