如何利用行列式计算三角形面积

2022年5月27日13:16:50数学评论阅读模式

如果已知平面中ABC三个点(或者说三个向量)的坐标

A(a0,b0),B(a1, b1),C(a2, b2

那么这三个点围成的三角形的面积,可以由以下的行列式表示:

如何利用行列式计算三角形面积

这两个行列式展开是一样的

这个问题实际上是在说,任给二维平面中的三个点,所围成的物体面积是多少?

为了讨论方便,画图直观,我们不妨把A的坐标设为原点,a0=0,b0=0

那么右边的行列式就变为:

如何利用行列式计算三角形面积

二阶行列式代表列向量张成的平行四边形面积
其实熟悉行列式的朋友应该已经能看出来,上述行列式,很明显的,

就是向量AB(a1,b1) 和向量AC(a2,b2) 围成的平行四边形的面积。

如何利用行列式计算三角形面积

所以平行四边形面积的一半,自然是三角形面积

 

二阶行列式代表了平行四边形ABCD的面积

那么来证明左边的行列式的一半也是三角形ABC的面积。

首先,由上我们知道,二阶行列式的值,是以两个列向量张成的平行四边形的(有向)面积

那么,类似地,三阶行列式,其实代表了三个列向量张成的平行六面体体积,我们把左边的行列式三个列向量拿出来:

(a0,b0,1),(a1,b1,1),(a2,b2,1),

如果为了方便画图和讨论,我们扔把A平移到原点,

那么就构造出 AA'=(0,0,1),AB'=(a1,b1,1),AC'=(a2,b2,1)三个向量张成的平行六面体

如何利用行列式计算三角形面积

先说结论,这个六面体的体积的1/6,正好是以三角形ABC为底面的三棱锥

为什么呢?想象一个正方体,我们知道一个正方体可以切成两块三棱柱,而每个三棱柱,又可以切出三个三棱锥

如何利用行列式计算三角形面积

仔细看上图中,正方体被分成两个三棱柱,而其中一个三棱柱又被分成三个三棱锥

所以1/3Sh(三棱锥体积)=1/6平行六面体体积=1/6 行列式的值

所以S=1/2行列式

三棱锥的高是1(因为最后一列是1),所以三棱锥的体积恰好和底面积相等

如何利用行列式计算三角形面积

 

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