如何利用行列式计算三角形面积

如何利用行列式计算三角形面积

在解析几何中，已知三角形三个顶点的坐标，可以通过行列式快速计算其面积，无需先求边长和高。

一、三点坐标的三角形面积公式

设三角形三个顶点为 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，$C(x_3, y_3)$，则三角形面积为：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/ruheliyongxinglieshijisuansanjiaoxingmianji.html

$S = \dfrac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \ x_2 & y_2 & 1 \ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix}\right|$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/ruheliyongxinglieshijisuansanjiaoxingmianji.html

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$S = \dfrac{1}{2}\big|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)\big|$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/ruheliyongxinglieshijisuansanjiaoxingmianji.html

二、向量叉积法

以 $A$ 为起点，构造向量 $\vec{AB} = (x_2-x_1, y_2-y_1)$，$\vec{AC} = (x_3-x_1, y_3-y_1)$：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/ruheliyongxinglieshijisuansanjiaoxingmianji.html

$S = \dfrac{1}{2}\big|\vec{AB} \times \vec{AC}\big| = \dfrac{1}{2}\big|(x_2-x_1)(y_3-y_1) - (x_3-x_1)(y_2-y_1)\big|$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/ruheliyongxinglieshijisuansanjiaoxingmianji.html

三、三点共线的判定

三个点共线当且仅当三角形面积为零：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/ruheliyongxinglieshijisuansanjiaoxingmianji.html

$\det\begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \ x_2 & y_2 & 1 \ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} = 0$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/ruheliyongxinglieshijisuansanjiaoxingmianji.html

四、三维空间中三角形的面积

若 $A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$，$C(x_3,y_3,z_3)$ 为空间三点：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/ruheliyongxinglieshijisuansanjiaoxingmianji.html

$S = \dfrac{1}{2}\big|\vec{AB} \times \vec{AC}\big|$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/ruheliyongxinglieshijisuansanjiaoxingmianji.html

其中叉积 $\vec{AB} \times \vec{AC}$ 的模长由三维向量叉积公式计算。

五、例题

例：求以 $A(1, 2)$，$B(4, 6)$，$C(5, 1)$ 为顶点的三角形面积。

解：$S = \dfrac{1}{2}\big|1(6-1) + 4(1-2) + 5(2-6)\big| = \dfrac{1}{2}\big|5 + (-4) + (-20)\big| = \dfrac{1}{2} \times 19 = 9.5$