克莱姆法则,译克拉默法则(Cramer’s Rule)求解线性方程组

2022年5月27日10:17:15数学评论阅读模式

克莱姆法则,又译克拉默法则(Cramer's Rule)是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理

概念

在引入克莱姆法则之前,先引入有关n元线性方程组和有关矩阵、行列式的概念。含有n个未知数的线性方程组称为n元线性方程组。
当其右端的常数项b1,b2,...,bn不全为零时,线性方程组⑴称为非齐次线性方程组。
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克莱姆法则,译克拉默法则(Cramer’s Rule)求解线性方程组

其中A是线性方程组的系数矩阵,X是由未知数组成的列向量,β是由常数项组成的列向量。线性方程组⑴的矩阵形式为AX=β

当常数项全为零时,线性方程组⑵称为齐次线性方程组,即:

克莱姆法则,译克拉默法则(Cramer’s Rule)求解线性方程组

 系数构成的行列式称为该方程组的系数行列式D,即

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定理

记法1:若线性方程组⑴的系数矩阵可逆(非奇异),即系数行列式 D≠0。有唯一解,其解为
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记法2:若线性方程组⑴的系数矩阵可逆(非奇异),即系数行列式 D≠0,则线性方程组⑴有唯一解,其解为
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其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。
记法1是将解写成矩阵(列向量)形式,而记法2是将解分别写成数字,本质相同。

证明

充分性:设A可逆,那么显然X0=A-1β是AX=β的一个解。又设X1是AX=β其他不为X0的解,即AX1。两边同时左乘A-1

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上面两式矛盾,因为不存在其他不为X0的解,故X0=A-1β是唯一的一个解。

必要性:设AX=β的唯一解X0。如A不可逆,齐次线性组AX=O就有非零解Y0

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X0+Y0也是AX=β的一个解,矛盾,故可逆,证毕。

具体例子

比如有这么一个方程组:

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等号左边的每一项的系数写成行列式

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先计算D的结果,如果D=0说明方程无解。如果有解,继续:

等号右边的答案写成一栏:

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把右侧答案栏替换系数的行列式x栏,就得到Dx行列式

克莱姆法则,译克拉默法则(Cramer’s Rule)求解线性方程组

同样,把答案栏分别替换到系数行列式的y栏与z栏,分别得到 Dy,Dz行列式

克莱姆法则,译克拉默法则(Cramer’s Rule)求解线性方程组 克莱姆法则,译克拉默法则(Cramer’s Rule)求解线性方程组

最后求解三个未知数的公式就是:

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