克莱姆法则，译克拉默法则（Cramer’s Rule）求解线性方程组

$\text{中文}$$\ce{}$$\frac{}{}$克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理

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其中A是线性方程组的系数矩阵，X是由未知数组成的列向量，β是由常数项组成的列向量。线性方程组⑴的矩阵形式为AX=β文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/kelaimufazeyikelamofazecramers-ruleqiujiexianxingfangchengzu.html

当常数项全为零时，线性方程组⑵称为齐次线性方程组，即：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/kelaimufazeyikelamofazecramers-ruleqiujiexianxingfangchengzu.html

系数构成的行列式称为该方程组的系数行列式D，即文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/kelaimufazeyikelamofazecramers-ruleqiujiexianxingfangchengzu.html

充分性：设A可逆，那么显然X₀=A^-1β是AX=β的一个解。又设X₁是AX=β其他不为X₀的解，即AX₁=β。两边同时左乘A^-1得文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/kelaimufazeyikelamofazecramers-ruleqiujiexianxingfangchengzu.html

上面两式矛盾，因为不存在其他不为X₀的解，故X₀=A^-1β是唯一的一个解。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/kelaimufazeyikelamofazecramers-ruleqiujiexianxingfangchengzu.html

X0+Y0也是AX=β的一个解，矛盾，故可逆，证毕。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/kelaimufazeyikelamofazecramers-ruleqiujiexianxingfangchengzu.html

具体例子

比如有这么一个方程组：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/202205/kelaimufazeyikelamofazecramers-ruleqiujiexianxingfangchengzu.html

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把等号左边的每一项的系数写成行列式：

先计算D的结果，如果D=0说明方程无解。如果有解，继续：

把等号右边的答案写成一栏：

把右侧答案栏替换系数的行列式x栏，就得到Dx行列式

同样，把答案栏分别替换到系数行列式的y栏与z栏，分别得到 Dy,Dz行列式

最后求解三个未知数的公式就是:

克莱姆法则在线计算器

使用下方的在线计算器，输入线性方程组的系数即可快速求解。支持二元一次方程组（2×2）和三元一次方程组（3×3）。

克莱姆法则数学公式

二元一次方程组

对于方程组：

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{cases}$

系数行列式：

$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$

若 $D \neq 0$，方程组有唯一解：

$x_1 = \frac{D_1}{D}, \quad x_2 = \frac{D_2}{D}$

其中 $D_1 = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix}$，$D_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix}$

三元一次方程组

对于方程组：

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2 \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3 \end{cases}$

系数行列式：

$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$

若 $D \neq 0$，有唯一解 $x_j = \frac{D_j}{D} \ (j = 1,2,3)$，其中 $D_j$ 是将 $D$ 的第 $j$ 列替换为常数项列 $(b_1, b_2, b_3)^T$ 后得到的行列式。

克莱姆法则的一般形式

对于 $n$ 元线性方程组 $A\mathbf{X} = \mathbf{b}$，若系数行列式 $D = \det(A) \neq 0$，则有唯一解：

$x_j = \frac{D_j}{D} = \frac{\det(A_j)}{\det(A)} \quad (j = 1, 2, \dots, n)$

其中 $A_j$ 是将矩阵 $A$ 的第 $j$ 列替换为常数向量 $\mathbf{b}$ 后得到的矩阵。克莱姆法则由瑞士数学家加布里埃尔·克莱姆（Gabriel Cramer，1704-1752）于1750年发表。