线性代数矩阵运算器

线性代数矩阵运算器（3x3）-- 公式介绍与使用示例

本工具是一个 3x3 矩阵运算器，支持两个矩阵的加法、乘法、伴随矩阵、逆矩阵、行列式等运算，结果即时显示在矩阵 C 中。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201912/xianxingdaishujuzhenyunsuanqi.html

一、工具功能概览

二、符号说明

在阅读公式之前，先了解涉及的符号：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201912/xianxingdaishujuzhenyunsuanqi.html

三、各运算公式详解

3.1 矩阵加法

规则： 只有同型矩阵（行数、列数相同）才能相加。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201912/xianxingdaishujuzhenyunsuanqi.html

公式：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201912/xianxingdaishujuzhenyunsuanqi.html

c_ij = a_ij + b_ij    (i = 1, 2, 3;  j = 1, 2, 3)

即将两个矩阵中位置相同的元素一一相加，共 9 个位置。例如：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201912/xianxingdaishujuzhenyunsuanqi.html

• c_11 = a_11 + b_11
• c_23 = a_23 + b_23

性质： 加法满足交换律（A + B = B + A）和结合律。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201912/xianxingdaishujuzhenyunsuanqi.html

3.2 矩阵乘法

规则： 左矩阵的列数必须等于右矩阵的行数。结果矩阵的第 i 行第 j 列 = 左矩阵第 i 行与右矩阵第 j 列逐元素相乘再求和。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201912/xianxingdaishujuzhenyunsuanqi.html

公式（对每个元素）：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201912/xianxingdaishujuzhenyunsuanqi.html

c_ij = a_i1 * b_1j  +  a_i2 * b_2j  +  a_i3 * b_3j

以 c_11 为例，取 A 的第 1 行、B 的第 1 列：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201912/xianxingdaishujuzhenyunsuanqi.html

c_11 = a_11 * b_11  +  a_12 * b_21  +  a_13 * b_31

全部 9 个元素展开如下：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201912/xianxingdaishujuzhenyunsuanqi.html

c_11 = a_11*b_11 + a_12*b_21 + a_13*b_31
c_12 = a_11*b_12 + a_12*b_22 + a_13*b_32
c_13 = a_11*b_13 + a_12*b_23 + a_13*b_33

c_21 = a_21*b_11 + a_22*b_21 + a_23*b_31
c_22 = a_21*b_12 + a_22*b_22 + a_23*b_32
c_23 = a_21*b_13 + a_22*b_23 + a_23*b_33

c_31 = a_31*b_11 + a_32*b_21 + a_33*b_31
c_32 = a_31*b_12 + a_32*b_22 + a_33*b_32
c_33 = a_31*b_13 + a_32*b_23 + a_33*b_33

注意：矩阵乘法不满足交换律。一般情况下 A x B 不等于 B x A。本工具同时提供了 A x B 和 B x A 两个按钮，方便对比。

3.3 行列式

行列式是方阵的一个标量属性，记作 det(A) 或 |A|。本工具使用 Sarrus（萨鲁斯）法则计算 3x3 行列式：

det(A) = a_11*a_22*a_33 + a_12*a_23*a_31 + a_13*a_21*a_32
         - a_31*a_22*a_13 - a_32*a_23*a_11 - a_33*a_21*a_12

记忆技巧 -- "划线法"：

将矩阵的前两列复制到右侧辅助观察：

a_11  a_12  a_13  |  a_11  a_12
a_21  a_22  a_23  |  a_21  a_22
a_31  a_32  a_33  |  a_31  a_32

• 正项（主对角线方向，实线）： a_11a_22a_33 + a_12a_23a_31 + a_13a_21a_32
• 负项（副对角线方向，虚线）： -a_31a_22a_13 - a_32a_23a_11 - a_33a_21a_12

几何意义： |det(A)| 表示该矩阵所代表的线性变换对空间体积的缩放倍数。det = 0 意味着变换将空间压缩到更低维度。

3.4 伴随矩阵

伴随矩阵（Adjugate Matrix）记作 adj(A)，构建分为两步：

第一步：计算每个元素的代数余子式（Cofactor）

对于元素 a_ij，去掉其所在行和列，剩下的 2x2 子矩阵求行列式，再乘以符号因子 (-1)^(i+j)。

符号因子的规律： (-1)^(i+j) 的值由位置决定，i 为行号、j 为列号：

• 第 1 行第 1 列 (1+1=2, 偶数): 正号 (+)
• 第 1 行第 2 列 (1+2=3, 奇数): 负号 (-)
• 第 1 行第 3 列 (1+3=4, 偶数): 正号 (+)
• 第 2 行第 1 列 (2+1=3, 奇数): 负号 (-)
• 第 2 行第 2 列 (2+2=4, 偶数): 正号 (+)
• 第 2 行第 3 列 (2+3=5, 奇数): 负号 (-)
• 第 3 行第 1 列 (3+1=4, 偶数): 正号 (+)
• 第 3 行第 2 列 (3+2=5, 奇数): 负号 (-)
• 第 3 行第 3 列 (3+3=6, 偶数): 正号 (+)

以 a_11（第 1 行第 1 列，i+j=2 为偶数，符号 +）为例，去掉第 1 行和第 1 列后剩下：

| a_22  a_23 |
| a_32  a_33 |   = a_22*a_33 - a_23*a_32

于是：C_11 = + (a_22a_33 - a_23a_32)

全部 9 个余子式（C_ij）的完整表达式：

C_11 = + (a_22*a_33 - a_23*a_32)
C_12 = - (a_21*a_33 - a_23*a_31)
C_13 = + (a_21*a_32 - a_22*a_31)

C_21 = - (a_12*a_33 - a_13*a_32)
C_22 = + (a_11*a_33 - a_13*a_31)
C_23 = - (a_11*a_32 - a_12*a_31)

C_31 = + (a_12*a_23 - a_13*a_22)
C_32 = - (a_11*a_23 - a_13*a_21)
C_33 = + (a_11*a_22 - a_12*a_21)

第二步：转置得到伴随矩阵

将余子式矩阵的行和列互换（称为转置），即得到伴随矩阵 adj(A)：

adj(A) 第 1 行: [ C_11,  C_21,  C_31 ]
adj(A) 第 2 行: [ C_12,  C_22,  C_32 ]
adj(A) 第 3 行: [ C_13,  C_23,  C_33 ]

注意：伴随矩阵中，C_21 放在了第 1 行第 2 列，C_12 放在了第 2 行第 1 列 -- 行列互换了。

3.5 逆矩阵

当 det(A) 不等于 0 时，矩阵可逆。逆矩阵公式：

A^(-1) = adj(A) / det(A)

即：先求伴随矩阵，再将每个元素除以行列式的值。

展开后，逆矩阵每个位置的元素为：

A^(-1) 第 1 行: [ C_11/det,  C_21/det,  C_31/det ]
A^(-1) 第 2 行: [ C_12/det,  C_22/det,  C_32/det ]
A^(-1) 第 3 行: [ C_13/det,  C_23/det,  C_33/det ]

验证方法： 将原矩阵与逆矩阵相乘，结果应等于单位矩阵 I：

当 det(A) = 0 时，矩阵为奇异矩阵（不可逆），工具会弹出提示。

四、使用示例

示例 1：矩阵加法

输入矩阵 A 和 B：

矩阵 A:

矩阵 B:

点击 A + B = C，结果矩阵 C:

示例 2：矩阵乘法的不可交换性

输入：

矩阵 A:

矩阵 B:

• 点击 A x B = C，得到：

• 点击 B x A = C，得到：

两者结果不同，验证了 A x B 不等于 B x A。

示例 3：行列式计算

输入矩阵 A：

点击 det(A)，计算过程：

det(A) = 2*(-1)*0  +  1*4*5  +  3*0*2
       - 5*(-1)*3  -  2*4*2  -  0*0*1

       = 0 + 20 + 0 - (-15) - 16 - 0
       = 0 + 20 + 0 + 15 - 16 - 0
       = 19

结果框显示：19。

示例 4：逆矩阵

沿用示例 3 的矩阵（det = 19，不等于 0，可逆），点击 inv(A) = C：

逆矩阵 A^(-1)（保留 4 位小数）:

自行验证： 点击 C -> B 将逆矩阵复制到 B，再点击 A x B = C，结果应接近单位矩阵（对角线为 1，其余接近 0）。

示例 5：奇异矩阵（不可逆）

输入矩阵 A：

先点击 det(A)，结果显示 0；再点击 inv(A)，弹出提示"矩阵 A 是奇异矩阵（行列式为 0），没有逆矩阵。"

原因：该矩阵的第 3 行 = 第 2 行 * 2 - 第 1 行，三行线性相关，行列式必为 0。

示例 6：链式运算

利用紫色交换按钮可以完成多步运算。例如求 (AB)^(-1)（先乘再求逆）：

1. 在 A 和 B 中输入数值
2. 点击 A x B = C -- 乘积结果在 C 中
3. 点击 C -> A -- 将乘积复制到 A
4. 点击 inv(A) = C -- 得到 (AB)^(-1)

五、使用提示

• 矩阵 C 可手动编辑，也可作为下一步计算的输入；
• 交换按钮（紫色）可以在 A、B、C 间自由复制矩阵值；
• 计算结果保留 8 位小数，极小值（如 10^(-13)）自动归零，避免浮点误差；
• 所有计算在本地浏览器完成，数据不上传服务器。

文档编写日期：2026-06-28