排列数/组合数/阶乘在线计算工具

排列数、组合数、阶乘

排列、组合和阶乘是组合数学的基础概念，在概率统计、算法设计和日常计数问题中有广泛应用。

一、阶乘

$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$

规定 $0! = 1$。斯特林近似：$n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$

二、排列数 $A_n^m$

从 $n$ 个不同元素中取 $m$ 个排成一列（有序）：

$A_n^m = \dfrac{n!}{(n-m)!} = n(n-1)\cdots(n-m+1)$

例：5人中选3人排成一排 → $A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 种

三、组合数 $C_n^m$

从 $n$ 个不同元素中取 $m$ 个（无序）：

$C_n^m = \dfrac{A_n^m}{m!} = \dfrac{n!}{m!(n-m)!}$

性质：$C_n^m = C_n^{n-m}$，$C_n^0 = C_n^n = 1$，$C_n^m + C_n^{m-1} = C_{n+1}^m$

例：5人中选3人（不排顺序）→ $C_5^3 = 10$ 种

四、常用值速查

$C_n^2 = \dfrac{n(n-1)}{2}$（$n$ 个点可连几条线段）

$A_n^2 = n(n-1)$