黄金比例划分在线计算工具

黄金比例

黄金比例（Golden Ratio）$\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ 是数学中最迷人的常数之一，广泛存在于自然界、艺术和建筑中。

一、数学定义

一条线段分为长短两段，如果全长与长段的比等于长段与短段的比，则这个比例称为黄金比例：

$\dfrac{a+b}{a} = \dfrac{a}{b} = \varphi$

解方程 $\varphi = 1 + \dfrac{1}{\varphi}$，得 $\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.6180339887$

二、黄金比例的性质

$\varphi^2 = \varphi + 1$

$\dfrac{1}{\varphi} = \varphi - 1 \approx 0.618$

$\varphi^n = F_n\varphi + F_{n-1}$（$F_n$ 为斐波那契数）

三、与斐波那契数列的关系

斐波那契数列相邻两项之比趋近于黄金比例：$\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi$

四、黄金矩形与黄金螺旋

长宽比为 $\varphi:1$ 的矩形称为黄金矩形，从中切去一个正方形，剩余矩形仍是黄金矩形。连接各正方形的对角可画出黄金螺旋（对数螺线）。