2019年9月4日 23:47:302026年7月3日一键计算评论1,395

倍角公式，是三角函数中非常实用的一类公式。就是把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛的运用。

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cos2θ=1−2sin²θ

📐 三角函数恒等式计算器

倍角·半角·和差·积化和差·和差化积·降幂·特殊角精确值（分数/根式）

精确分数/根式大学预科 15+恒等式

角度 θ

单位

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三角函数恒等式完全指南 —— 从高中到大学

一、为什么需要恒等式？

三角函数恒等式是数学中最重要的工具箱之一。无论是解三角方程、化简复杂表达式、求不定积分、还是傅里叶分析和信号处理，恒等式都是不可替代的"桥梁"——它把复杂的形式转化为简单的、可计算的形式。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201909/beijiaogongshijisuanqi.html

本文按递进关系组织：基础关系 → 和差公式（核心）→ 倍角/半角 → 积化和差/和差化积 → 降幂 → 万能代换 → 大学扩展。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201909/beijiaogongshijisuanqi.html

二、基础关系（同角公式）

一切推导的起点。以下六个函数定义在单位圆上，彼此不是独立的。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201909/beijiaogongshijisuanqi.html

2.1 倒数关系

$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} \\$ 文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201909/beijiaogongshijisuanqi.html

2.2 商数关系

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \\$ 文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201909/beijiaogongshijisuanqi.html

2.3 平方关系（勾股恒等式）

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \\$
$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta \\$
$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta \\$ 文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201909/beijiaogongshijisuanqi.html

记忆口诀：第一式是整个三角学的"宪法"——可从单位圆定义直接得出。后两式分别用 cos²θ 和 sin²θ 去除第一式的每一项即得。

2.4 诱导公式（"奇变偶不变，符号看象限"）

角度	sin	cos	tan
−θ	−sinθ	cosθ	−tanθ
π/2 ± θ	cosθ	∓sinθ	∓cotθ
π ± θ	∓sinθ	−cosθ	±tanθ
3π/2 ± θ	−cosθ	±sinθ	∓cotθ
2π − θ	−sinθ	cosθ	−tanθ

三、特殊角的精确值

这些值必须在脑中形成肌肉记忆——它们是所有精确计算的基石。

θ	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
sinθ	0	1/2	√2/2	√3/2	1	√3/2	√2/2	1/2	0
cosθ	1	√3/2	√2/2	1/2	0	−1/2	−√2/2	−√3/2	−1
tanθ	0	1/√3	1	√3	∞	−√3	−1	−1/√3	0

推导方法

30°-60°-90° 三角形：半等边三角形，短直角边=斜边/2
45°-45°-90° 三角形：等腰直角三角形，腰=斜边/√2
其他角度：通过诱导公式从第一象限角导出

关键认知：根式值 1/2、√2/2、√3/2 在手算和精确推导中不可替代。0.5 和 1/2 在数学意义上截然不同——前者是近似，后者是精确有理数，可以在后续运算中约分、通分。

四、和差公式（一切的核心）

所有后续公式（倍角、半角、积化和差、和差化积）都可以从和差公式推导出来。

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \\$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \\$
$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta} \\$

几何证明（sin 的加法公式）

在单位圆上取角 α 和 α+β。弦长相等可得：

$[\cos(\alpha+\beta)-1]^2 + \sin^2(\alpha+\beta) = [\cos\alpha-\cos(-\beta)]^2 + [\sin\alpha-\sin(-\beta)]^2 \\$

展开化简即得 sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ。cos 的和角公式类似可证。

实例（用在线工具验证）

α = 75°, β = 15°：

sin(75°+15°) = sin90° = 1（精确）
sin(75°−15°) = sin60° = √3/2（精确）
cos(75°+15°) = cos90° = 0（精确）
cos(75°−15°) = cos60° = 1/2（精确）

五、倍角公式

5.1 二倍角（令 β = α 即得）

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta \\$
$\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta \\$
$\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} \\$

cos(2θ) 的三种形式各有用处：

cos²θ − sin²θ → 最对称，适合理论推导

2cos²θ − 1 → 方便将 cos²θ 降幂：cos²θ = (1+cos2θ)/2

1 − 2sin²θ → 方便将 sin²θ 降幂：sin²θ = (1−cos2θ)/2

实例：θ = 30°

sin60° = 2×(1/2)×(√3/2) = √3/2 ✓
cos60° = (√3/2)²−(1/2)² = 3/4−1/4 = 1/2 ✓

5.2 三倍角

在二倍角基础上再加一次和角公式：

$\sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta \\$
$\cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \\$
$\tan(3\theta) = \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta} \\$

实例：θ = 30°

sin90° = 3×(1/2) − 4×(1/8) = 3/2 − 1/2 = 1 ✓

三倍角公式的本质是 Chebyshev 多项式：cos(3θ) = T₃(cosθ)，其中 T₃(x) = 4x³−3x。

5.3 n 倍角的通式（De Moivre + 二项式展开）

由欧拉公式 $e^{in\theta} = (e^{i\theta})^n = (\cos\theta + i\sin\theta)^n\\$

二项式展开后取实部和虚部：

$\cos(n\theta) = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (-1)^k \binom{n}{2k} \cos^{n-2k}\theta \sin^{2k}\theta \\$
$\sin(n\theta) = \sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor} (-1)^k \binom{n}{2k+1} \cos^{n-2k-1}\theta \sin^{2k+1}\theta \\$

以 n=4 为例展开：

$\cos(4\theta) = \cos^4\theta - 6\cos^2\theta\sin^2\theta + \sin^4\theta = 8\cos^4\theta - 8\cos^2\theta + 1 \\$

六、半角公式

在 cos(2θ) = 1−2sin²θ 中令 θ→θ/2，解出 sin(θ/2)：

$\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} \\$
$\cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \\$
$\tan\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} \\$

± 号的确定：看 θ/2 所在的象限。
tan(θ/2) 后两种形式的价值：避免了根号和正负号的困扰——在积分 ∫dx/(1+cosx) 中特别有用。

实例：θ = 60°

sin30° = √[(1−1/2)/2] = √(1/4) = 1/2 ✓

七、降幂公式（升角降次）

由 cos(2θ) = 1−2sin²θ 和 cos(2θ) = 2cos²θ−1 反解：

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}, \quad \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \\$

高次幂同理可得（反复应用或利用三倍角公式）：

$\sin^3\theta = \frac{3\sin\theta - \sin(3\theta)}{4} \\$
$\cos^3\theta = \frac{3\cos\theta + \cos(3\theta)}{4} \\$

应用：积分 ∫sin²x dx

$\int \sin^2x\,dx = \int \frac{1-\cos(2x)}{2}dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C \\$

没有降幂公式，这个积分几乎无法直接求出。

实例：θ = 30°

sin²30° = (1−cos60°)/2 = (1−1/2)/2 = 1/4 ✓
cos²30° = (1+cos60°)/2 = (1+1/2)/2 = 3/4 ✓

八、积化和差

将和差公式正反两个方向相加/相减即得：

$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)] \\$
$\cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)] \\$
$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)] \\$
$\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)] \\$

应用：积分 ∫sin(3x)cos(5x)dx

$\int \sin(3x)\cos(5x)dx = \frac{1}{2}\int[\sin(8x)+\sin(-2x)]dx = \frac{1}{2}\int[\sin(8x)-\sin(2x)]dx \\$
$= -\frac{\cos(8x)}{16} + \frac{\cos(2x)}{4} + C \\$

记忆口诀：sin·cos → 两个 sin（"异名得同名"），cos·cos → 两个 cos，sin·sin → 负的两个 cos。

九、和差化积

令 A = α+β, B = α−β，则 α = (A+B)/2, β = (A−B)/2。代入积化和差即得：

$\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} \\$
$\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} \\$
$\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} \\$
$\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} \\$

应用：解三角方程 sin(5x) = sin(3x)

$\sin(5x) - \sin(3x) = 0 \\$
$2\cos(4x)\sin(x) = 0 \\$
$\Rightarrow \cos(4x)=0 \text{ 或 } \sin(x)=0 \\$
$\Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4} \text{ 或 } x = k\pi \\$

应用：波的叠加（拍频现象）

两个频率接近的正弦波叠加：sin(100t) + sin(102t) = 2cos(t)·sin(101t)

结果是一个快速振荡（频率 101）乘以一个慢速包络（频率 1）——这就是物理中的"拍"。

十、万能公式（t = tan(θ/2) 代换）

令 t = tan(θ/2)，则所有三角函数化为 t 的有理函数：

$\sin\theta = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad \cos\theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad \tan\theta = \frac{2t}{1 - t^2} \\$

应用：积分 ∫dx/(1+sinx+cosx)

令 t = tan(x/2)，则 dx = 2dt/(1+t²)，sinx = 2t/(1+t²)，cosx = (1−t²)/(1+t²)。代入后，三角积分化为有理函数积分——这是积分学中最强大的技巧之一。

十一、辅助角公式（合一变形）

将 a·sinθ + b·cosθ 合并为单一三角函数：

$a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sin(\theta + \varphi) \\$

其中 φ = arctan(b/a)（需根据 a,b 符号确定象限）。

应用

求 f(θ) = 3sinθ + 4cosθ 的最大值：√(3²+4²) = 5
解方程 sinθ + √3cosθ = 1 → 2sin(θ+60°) = 1 → θ+60° = 30° 或 150° → θ = −30° 或 90°

十二、大学扩展

12.1 Euler 公式 —— 三角函数的"终极形式"

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \\$

这是数学中最美的公式之一。令 θ=π 即得 $e^{i\pi} + 1 = 0\\$

由此可导出：

$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \\$

这两式把三角函数定义为复指数的线性组合——在傅里叶分析、量子力学、信号处理中，这是标准视角。

12.2 与双曲函数的桥梁

$\cos(ix) = \cosh x, \quad \sin(ix) = i\sinh x \\$
$\cosh(ix) = \cos x, \quad \sinh(ix) = i\sin x \\$

双曲函数的恒等式与三角函数的恒等式有惊人的相似性——只需将 sin↔sinh、cos↔cosh、符号适当调整即可。例如 cosh²x − sinh²x = 1（对比 cos²+sin²=1）。

12.3 Chebyshev 多项式

满足 T_n(cosθ) = cos(nθ) 的多项式族 {T_n} 称为第一类 Chebyshev 多项式：

n	T_n(x)
0	1
1	x
2	2x²−1
3	4x³−3x
4	8x⁴−8x²+1
5	16x⁵−20x³+5x

递推关系：**T_{n+1}(x) = 2x·T_n(x) − T_{n-1}(x)**，初始 T₀=1, T₁=x。

这正是 cos(2θ) = 2cos²θ−1、cos(3θ) = 4cos³θ−3cosθ 的多项式化。

12.4 傅里叶级数 —— 三角函数作为基函数

任意周期为 2π 的函数 f(x) 可展开为：

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)] \\$

其中系数由正交性决定：

$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\sin(nx)dx = \pi\delta_{mn}, \quad \int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\cos(nx)dx = \pi\delta_{mn} \\$

正交性的证明完全依赖积化和差公式——这就是为什么那些"看起来没什么用"的恒等式，在高级课程中突然变得不可或缺。

12.5 反三角函数恒等式

$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} \quad (|x| \leq 1) \\$
$\arctan x + \text{arccot}\,x = \frac{\pi}{2} \\$
$\arctan x + \arctan y = \arctan\frac{x+y}{1-xy} \quad (xy < 1) \\$

十三、记忆技巧总览

公式类型	记忆法
和差 sin(α±β)	"sin 异名"：sinαcosβ ± cosαsinβ
和差 cos(α±β)	"cos 同名，符号相反"：cosαcosβ ∓ sinαsinβ（注意加变减！）
二倍角 sin2θ	2sinθcosθ —— 两倍的异名乘积
二倍角 cos2θ	三种形式选最方便的——降 sin 用 1−2sin²，降 cos 用 2cos²−1
半角	分子 1∓cosθ，全部除以 2，再开方
积化和差	乘积→和差，每条前面都有 ½
和差化积	和差→乘积，每条前面都有 2，中间是 (A±B)/2 的三角
降幂	sin²→(1−cos2θ)/2，cos²→(1+cos2θ)/2 —— "二次降一次，角度翻倍"
万能公式	令 t=tan(θ/2)，sin=2t/(1+t²)，cos=(1−t²)/(1+t²) —— "直角三角形对边=2t，邻边=1−t²，斜边=1+t²"

十四、为什么精确值（分数/根式）如此重要？

$\frac{1}{2} \neq 0.5 \\$

在数学推导中：

约分消元：(1/2)·(√3/2) = √3/4 —— 用 0.5×0.866 你永远得不到 √3/4
平方运算：(√2/2)² = 2/4 = 1/2 —— 精确简化
代回恒等式：sin²θ+cos²θ = (1/2)²+(√3/2)² = 1/4+3/4 = 1 —— 验证正确性

这就是本在线工具优先显示分数和根式而非小数的原因。

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