高中数学第十二章 §12.2　几何概型

高中数学：几何概型

几何概型是概率论中与古典概型并列的重要概率模型，它将随机事件的概率与几何度量（长度、面积、体积）联系起来。

一、几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

二、几何概型的概率公式

$P(A) = \dfrac{\text{构成事件}A\text{的区域长度（面积或体积）}}{\text{试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）}}$

三、几何概型的特点

• 无限性：一次试验中可能出现的结果有无限多个
• 等可能性：每个结果的发生是等可能的
• 与古典概型的区别：古典概型的结果是有限个，几何概型的结果是无限个

四、常见几何概型类型

1. 长度型

在区间 $[a, b]$ 上随机取一个数，求满足某种条件的概率。概率等于满足条件的区间长度与总区间长度之比。

例题：在 $[0, 10]$ 中随机取一个数，求该数小于 $3$ 的概率。$P = \dfrac{3 - 0}{10 - 0} = 0.3$

2. 面积型

在平面区域 $\Omega$ 内随机投点，求点落入子区域 $A$ 的概率：

$P = \dfrac{S_A}{S_\Omega}$

经典问题——会面问题：两人约定在 $[0, T]$ 时间段内见面，先到者等 $t_0$ 时间后离开，求两人能见面的概率。

$P = 1 - \left(1 - \dfrac{t_0}{T}\right)^2$

3. 体积型

在空间区域 $\Omega$ 内随机取点，概率等于子区域体积与总体积之比。

五、蒙特卡洛方法（随机模拟）

几何概型是蒙特卡洛（Monte Carlo）方法的基础。通过大量随机试验的频率来估计概率：

$P(A) \approx \dfrac{N_A}{N}$（当 $N$ 足够大时）

一个经典应用是用随机投点法估算 $\pi$ 的值：在 $[-1,1] \times [-1,1]$ 正方形内随机投点，落入单位圆内的频率 $\times 4 \approx \pi$。