高中数学第十一章 §11.2　随机抽样

高中数学：随机抽样

随机抽样是统计学的基础，目的是从总体中抽取一部分个体作为样本，通过对样本的研究来推断总体的特征。科学的抽样方法是确保统计推断可靠性的前提。

一、基本概念

• 总体：研究对象的全体
• 个体：总体中的每一个研究对象
• 样本：从总体中抽取的一部分个体
• 样本容量：样本中个体的数量，记作 $n$

二、简单随机抽样

设一个总体含有 $N$ 个个体，从中逐个不放回地抽取 $n$ 个个体作为样本（$n \leq N$），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，则称为简单随机抽样。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/314d992590.html

• 抽签法：将总体编号，制作号签，搅拌均匀后逐个抽取
• 随机数表法：利用随机数表或计算机生成的随机数来抽取

• 每个个体被抽到的概率相等：均为 $\dfrac{n}{N}$
• 总体中个体差异不大时效果最好

三、系统抽样（等距抽样）

将总体平均分成 $n$ 个部分，按预先确定的规则从每一部分中抽取一个个体，得到所需样本。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/314d992590.html

1. 将总体中的 $N$ 个个体编号
2. 确定分段间隔 $k = \left\lfloor\dfrac{N}{n}\right\rfloor$（取整数部分）
3. 在第 $1$ 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 $l$（$1 \leq l \leq k$）
4. 按照一定的规则抽取样本：$l, l+k, l+2k, \ldots, l+(n-1)k$

四、分层抽样

将总体按照某种特征分成若干互不重叠的层（类型），然后在每个层中按照该层在总体中所占比例进行独立抽样。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/314d992590.html

1. 按某种特征将总体分成互不交叉的层
2. 计算各层个体数与总体个体数的比值
3. 按各层比例分配样本容量：第 $i$ 层样本数 = $n \times \dfrac{N_i}{N}$
4. 在各层内采用简单随机抽样或系统抽样抽取

五、三种抽样方法比较

六、样本统计量

样本均值：$\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/314d992590.html

样本方差：$s^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/314d992590.html

样本标准差：$s = \sqrt{s^2}$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/314d992590.html 文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/314d992590.html文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/314d992590.html