解析欧拉公式

解析欧拉公式

欧拉公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ 被誉为"数学中最美的公式"，它将指数函数与三角函数在复数域中统一起来。

一、欧拉公式

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201907/jiexioulagongshi.html

二、欧拉恒等式

令 $\theta = \pi$，得到被称为"最美数学公式"的欧拉恒等式：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201907/jiexioulagongshi.html

$e^{i\pi} + 1 = 0$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201907/jiexioulagongshi.html

这一公式将数学中五个最重要的常数——$e$（自然对数的底）、$i$（虚数单位）、$\pi$（圆周率）、1（乘法单位元）、0（加法单位元）——用一个等式联系起来。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201907/jiexioulagongshi.html

三、推导（泰勒展开法）

已知 $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!}$，代入 $x = i\theta$：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201907/jiexioulagongshi.html

$e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(i\theta)^n}{n!} = \left(1 - \dfrac{\theta^2}{2!} + \dfrac{\theta^4}{4!} - \cdots\right) + i\left(\theta - \dfrac{\theta^3}{3!} + \dfrac{\theta^5}{5!} - \cdots\right)$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201907/jiexioulagongshi.html

$= \cos\theta + i\sin\theta$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201907/jiexioulagongshi.html

四、推论

$\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$，$\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201907/jiexioulagongshi.html

棣莫弗公式：$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201907/jiexioulagongshi.html

五、应用的三个领域

• 交流电路分析：用复数表示正弦量，$Ue^{i\omega t}$ 表示交流电压
• 傅立叶变换：$e^{i\omega t}$ 是傅立叶变换的核函数
• 微分方程：求解常系数线性微分方程的特征根法