高等数学公式之微积分方程公式

高等数学公式 — 微积分方程公式

一、一阶微分方程

$\dfrac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ → $\int\dfrac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx + C$

$\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

通解：$y = e^{-\int Pdx}\left[\int Q e^{\int Pdx}dx + C\right]$

二、二阶线性微分方程

$y" + py' + qy = 0$，特征方程：$r^2 + pr + q = 0$

• $\Delta \gt 0$：$y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$
• $\Delta = 0$：$y = (C_1 + C_2x)e^{rx}$
• $\Delta \lt 0$（$r = \alpha \pm i\beta$）：$y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)$

$y" + py' + qy = f(x)$

若 $f(x) = P_n(x)e^{\lambda x}$：特解 $y^* = x^k Q_n(x)e^{\lambda x}$

若 $f(x) = e^{\alpha x}(A\cos\beta x + B\sin\beta x)$：特解 $y^* = x^k e^{\alpha x}(M\cos\beta x + N\sin\beta x)$

三、欧拉方程

$x^2y" + pxy' + qy = f(x)$，令 $x = e^t$ 化为常系数方程。