高等数学公式之傅立叶级数公式

高等数学：傅立叶级数公式

傅立叶级数（Fourier Series）是法国数学家傅立叶提出的将周期函数展开为三角级数的方法，广泛应用于信号处理、热传导和振动分析。

一、三角函数系的正交性

三角函数系 $\{1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \ldots, \cos nx, \sin nx, \ldots\}$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上具有正交性：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/gaodengshuxuegongshizhifuliyejishugongshi.html

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos nx\,dx = 0$，$\int_{-\pi}^{\pi} \sin nx\,dx = 0$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/gaodengshuxuegongshizhifuliyejishugongshi.html

$\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx\cos nx\,dx = 0$（任意 $m, n$）文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/gaodengshuxuegongshizhifuliyejishugongshi.html

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx\cos nx\,dx = \begin{cases} 0 & m \neq n \ \pi & m = n \neq 0 \ 2\pi & m = n = 0 \end{cases}$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/gaodengshuxuegongshizhifuliyejishugongshi.html

二、傅立叶级数定义

设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的函数，其傅立叶级数为：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/gaodengshuxuegongshizhifuliyejishugongshi.html

$f(x) \sim \dfrac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n\cos nx + b_n\sin nx)$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/gaodengshuxuegongshizhifuliyejishugongshi.html

其中傅立叶系数：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/gaodengshuxuegongshizhifuliyejishugongshi.html

$a_n = \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\,dx \quad (n = 0, 1, 2, \ldots)$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/gaodengshuxuegongshizhifuliyejishugongshi.html

$b_n = \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/gaodengshuxuegongshizhifuliyejishugongshi.html

三、周期为 $2l$ 的傅立叶级数

对于周期为 $2l$ 的函数，通过变量代换 $t = \frac{\pi x}{l}$：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/gaodengshuxuegongshizhifuliyejishugongshi.html

$f(x) \sim \dfrac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n\cos\dfrac{n\pi x}{l} + b_n\sin\dfrac{n\pi x}{l}\right)$

$a_n = \dfrac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\cos\dfrac{n\pi x}{l}\,dx$

$b_n = \dfrac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\sin\dfrac{n\pi x}{l}\,dx$

四、正弦级数与余弦级数

奇延拓（正弦级数）——若 $f(x)$ 为奇函数：$a_n = 0$

$f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin nx$

偶延拓（余弦级数）——若 $f(x)$ 为偶函数：$b_n = 0$

$f(x) \sim \dfrac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos nx$

五、狄利克雷收敛定理

若 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）只有有限个极值点，则其傅立叶级数收敛于：

• 在连续点 $x$：收敛于 $f(x)$
• 在间断点 $x$：收敛于 $\dfrac{f(x^-) + f(x^+)}{2}$