大一高数：经济数学——微积分复习提纲

大一高数：经济数学——微积分复习提纲

本文为大一经济数学（微积分）课程的期末复习提纲，系统梳理函数、极限与连续、导数与微分、积分学等核心章节的必考公式与定理，帮助同学们高效备考。

第一章 函数

定义域是函数理论的基础。求定义域需注意分母不为零、偶次根号下非负、对数真数大于零等限制条件。分段函数的求值需根据自变量的取值范围代入对应的解析式。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/dayigaoshukaoshitikuzhijingjishuxueweijifenfuxitigang.html

五种基本初等函数：幂函数 $y = x^a$、指数函数 $y = a^x$（$a > 0, a \neq 1$）、对数函数 $y = \log_a x$、三角函数（$\sin x, \cos x, \tan x, \cot x, \sec x, \csc x$）、反三角函数（$\arcsin x, \arccos x, \arctan x$）。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/dayigaoshukaoshitikuzhijingjishuxueweijifenfuxitigang.html

初等函数：由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/dayigaoshukaoshitikuzhijingjishuxueweijifenfuxitigang.html

• 需求函数：$Q_d = f(P)$，价格与需求量的关系
• 供给函数：$Q_s = g(P)$，价格与供给量的关系
• 总成本函数：$C(x) = C_{\text{固定}} + C_{\text{变动}}(x)$
• 总收益函数：$R(x) = P \cdot x$
• 总利润函数：$L(x) = R(x) - C(x)$

第二章 极限与连续

无穷小：极限为零的变量称为无穷小量。注意无穷小量是变量而非很小的数，零是常数中唯一的无穷小量。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/dayigaoshukaoshitikuzhijingjishuxueweijifenfuxitigang.html

无穷小的性质：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/dayigaoshukaoshitikuzhijingjishuxueweijifenfuxitigang.html

• 有限个无穷小的代数和仍是无穷小
• 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小
• 常数与无穷小的乘积仍是无穷小
• 有限个无穷小的乘积仍是无穷小

函数极限与无穷小的关系：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/dayigaoshukaoshitikuzhijingjishuxueweijifenfuxitigang.html

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A$ 的充要条件是 $f(x) = A + \alpha(x)$，其中 $\lim\limits_{x \to x_0} \alpha(x) = 0$（$\alpha(x)$ 为无穷小量）。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/dayigaoshukaoshitikuzhijingjishuxueweijifenfuxitigang.html

无穷大：在某一变化过程中，若 $|f(x)|$ 无限增大，则称 $f(x)$ 为此变化过程中的无穷大量。无穷大与无穷小互为倒数关系。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/dayigaoshukaoshitikuzhijingjishuxueweijifenfuxitigang.html

若 $\lim f(x) = A$，$\lim g(x) = B$，则：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/dayigaoshukaoshitikuzhijingjishuxueweijifenfuxitigang.html

• $\lim[f(x) \pm g(x)] = A \pm B$
• $\lim[f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$
• $\lim\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{A}{B}$（$B \neq 0$）
• $\lim[c \cdot f(x)] = c \cdot A$
• $\lim[f(x)]^n = A^n$

第一重要极限：$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/dayigaoshukaoshitikuzhijingjishuxueweijifenfuxitigang.html

第二重要极限：$\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = e$

或 $\lim\limits_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$

设 $\lim\alpha = 0$，$\lim\beta = 0$，且 $\beta \neq 0$：

• 若 $\lim\dfrac{\alpha}{\beta} = 0$，则 $\alpha$ 是比 $\beta$ 更高阶的无穷小
• 若 $\lim\dfrac{\alpha}{\beta} = c \neq 0$，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 是同阶无穷小
• 若 $\lim\dfrac{\alpha}{\beta} = 1$，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 是等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$

常用等价无穷小（$x \to 0$）：

$\sin x \sim x$，$\tan x \sim x$，$\arcsin x \sim x$，$\arctan x \sim x$

$\ln(1+x) \sim x$，$e^x - 1 \sim x$，$1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$，$\sqrt[n]{1+x} - 1 \sim \dfrac{x}{n}$

连续的定义：函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续 $\iff \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

三个条件：$f(x_0)$ 有定义；$\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在；极限值等于函数值。

间断点分类：第一类（可去间断点、跳跃间断点）；第二类（无穷间断点、振荡间断点）

闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理、零点定理

第三章 导数与微分

$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

函数	导数
$C$（常数）	$0$
$x^n$	$nx^{n-1}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\sec^2 x$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$
$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

四则运算：$(u \pm v)' = u' \pm v'$，$(uv)' = u'v + uv'$，$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

链式法则：$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$

边际函数：边际成本 $MC = \dfrac{dC}{dx}$，边际收益 $MR = \dfrac{dR}{dx}$，边际利润 $ML = \dfrac{dL}{dx}$

第四章 积分学

$\int k\,dx = kx + C$

$\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）

$\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$

$\int \cos x\,dx = \sin x + C$

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$，其中 $F'(x) = f(x)$

已知边际成本求总成本：$C(x) = \int_0^x MC(t)\,dt + C_{\text{固定}}$

总收益：$R(x) = \int_0^x MR(t)\,dt$

消费者剩余：$CS = \int_0^{Q_0} [D(Q) - P_0]\,dQ$

必考公式速查表

考点	关键公式
重要极限1	$\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
重要极限2	$\lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$
导数定义	$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$
牛顿-莱布尼茨公式	$\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)$