初中数学公式之有理数公式

初中数学公式 — 有理数

一、有理数及其概念

有理数定义：整数和分数统称为有理数。有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式，因此也是有理数。

$\text{有理数} = \{\text{整数}\} \cup \{\text{分数}\}$

分类：

$\text{有理数}\begin{cases}\text{整数}\begin{cases}\text{正整数}\\0\\\text{负整数}\end{cases}\\\text{分数}\begin{cases}\text{正分数}\\\text{负分数}\end{cases}\end{cases}$

数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。实数与数轴上的点一一对应。

二、相反数与绝对值

相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。$a$ 的相反数是 $-a$，$0$ 的相反数是 $0$。

若 $a$、$b$ 互为相反数，则 $a + b = 0$。

绝对值：一般地，数轴上表示数 $a$ 的点与原点的距离叫做数 $a$ 的绝对值，记作 $|a|$。

$|a| = \begin{cases} a, & a \geq 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}$

即：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，$0$ 的绝对值是 $0$。

$|a| \geq 0$（绝对值具有非负性）

三、有理数的大小比较

• 正数都大于 $0$，负数都小于 $0$，正数大于一切负数
• 两个正数比较大小：绝对值大的数大
• 两个负数比较大小：绝对值大的数反而小
• 在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大

四、有理数的运算

• 同号相加：取相同的符号，绝对值相加。$a + b = \pm(|a| + |b|)$（同号）
• 异号相加：取绝对值较大的符号，绝对值相减。$a + b = \pm(|a| - |b|)$（异号）
• 加法交换律：$a + b = b + a$
• 加法结合律：$(a + b) + c = a + (b + c)$

减去一个数等于加上这个数的相反数：$a - b = a + (-b)$

• 同号相乘得正：$(+a) \times (+b) = +ab$，$(-a) \times (-b) = +ab$
• 异号相乘得负：$(+a) \times (-b) = -ab$
• 乘法交换律：$a \times b = b \times a$
• 乘法结合律：$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
• 乘法分配律：$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$

除以一个不等于 $0$ 的数，等于乘这个数的倒数：$a \div b = a \times \dfrac{1}{b}$（$b \neq 0$）

两数相除，同号得正，异号得负。$0$ 除以任何非 $0$ 数都得 $0$。

$n$ 个相同因数 $a$ 相乘：$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n\text{个}}$

正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

先乘方 → 再乘除 → 最后加减。同级运算从左到右。有括号的先算括号内的。

五、科学记数法与近似数

科学记数法：把一个大于 $10$ 的数表示成 $a \times 10^n$ 的形式，其中 $1 \leq |a| < 10$

近似数：与实际接近但不等于实际的数。精确度由四舍五入的位数决定。

有效数字：从一个数的左边第一个非 $0$ 数字起到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。