高中数学：双曲线
双曲线是圆锥曲线的一种，定义为平面上到两个定点（焦点）的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹。双曲线在物理、天文和工程中有广泛应用。
一、双曲线的定义
平面内与两个定点 $F_1$、$F_2$ 的距离之差的绝对值等于常数 $2a$（$0 < 2a < |F_1F_2|$）的点的轨迹叫做双曲线。$F_1$、$F_2$ 称为焦点，两焦点间的距离 $|F_1F_2| = 2c$ 称为焦距。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/edc8568879.html
二、双曲线的标准方程
1. 焦点在 $x$ 轴上
中心在原点，焦点为 $F_1(-c, 0)$、$F_2(c, 0)$ 的双曲线：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/edc8568879.html
$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > 0, b > 0)$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/edc8568879.html
其中 $c^2 = a^2 + b^2$。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/edc8568879.html
2. 焦点在 $y$ 轴上
中心在原点，焦点为 $F_1(0, -c)$、$F_2(0, c)$ 的双曲线：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/edc8568879.html
$\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1 \quad (a > 0, b > 0)$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/edc8568879.html
三、双曲线的几何性质
| 性质 | $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ | $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ |
|---|---|---|
| 范围 | $x \geq a$ 或 $x \leq -a$ | $y \geq a$ 或 $y \leq -a$ |
| 顶点 | $A_1(-a,0), A_2(a,0)$ | $A_1(0,-a), A_2(0,a)$ |
| 焦点 | $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ | $F_1(0,-c), F_2(0,c)$ |
| 实轴 | $x$ 轴，长 $2a$ | $y$ 轴，长 $2a$ |
| 虚轴 | $y$ 轴，长 $2b$ | $x$ 轴，长 $2b$ |
| 离心率 | $e = \dfrac{c}{a} > 1$ | |
四、渐近线
双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的渐近线为：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/edc8568879.html
$y = \pm \dfrac{b}{a}x$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/edc8568879.html
双曲线 $\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$ 的渐近线为：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/edc8568879.html
$y = \pm \dfrac{a}{b}x$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/edc8568879.html
五、等轴双曲线
当 $a = b$ 时，双曲线称为等轴双曲线（等边双曲线），其方程为：
$x^2 - y^2 = a^2$
渐近线为 $y = \pm x$（互相垂直），离心率 $e = \sqrt{2}$。
