数列通项公式的十二种求法

数列通项公式的十二种求法

求数列的通项公式是高中数学数列章节的核心技能。本文系统归纳十二种常用求法，覆盖高考和竞赛常见题型。

一、观察法（归纳法）

根据数列前几项直接观察规律，猜测通项公式，再用数学归纳法严格证明。适用于规律明显的简单数列。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/3056db00e8.html

例：数列 $1, 3, 5, 7, 9, \ldots$ → 观察得 $a_n = 2n - 1$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/3056db00e8.html

二、公式法

等差数列：$a_n = a_1 + (n-1)d$（$d$ 为公差）文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/3056db00e8.html

等比数列：$a_n = a_1 q^{n-1}$（$q$ 为公比）文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/3056db00e8.html

三、利用 $S_n$ 求 $a_n$

已知前 $n$ 项和 $S_n$，求通项 $a_n$：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/3056db00e8.html

$a_n = \begin{cases} S_1 & n = 1 \ S_n - S_{n-1} & n \geq 2 \end{cases}$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/3056db00e8.html

四、累加法

递推关系形如 $a_{n+1} - a_n = f(n)$ 时：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/3056db00e8.html

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k)$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/3056db00e8.html

例：$a_1 = 1$，$a_{n+1} - a_n = n$ → $a_n = 1 + \dfrac{n(n-1)}{2}$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/3056db00e8.html

五、累乘法

递推关系形如 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = f(n)$ 时：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/3056db00e8.html

$a_n = a_1 \cdot \prod_{k=1}^{n-1} f(k)$

例：$a_1 = 1$，$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{n}{n+1}$ → $a_n = \dfrac{1}{n}$

六、构造法（一阶线性递推）

$a_{n+1} = pa_n + q$ 型（$p \neq 1$）：

令 $a_{n+1} + \lambda = p(a_n + \lambda)$，解得 $\lambda = \dfrac{q}{p-1}$，则 $\{a_n + \lambda\}$ 为等比数列。

例：$a_1 = 1$，$a_{n+1} = 2a_n + 3$ → 令 $\lambda = 3$，得 $a_n = 4 \cdot 2^{n-1} - 3$

七、待定系数法

$a_{n+1} = pa_n + q^n$ 型：设 $a_n = b_n \cdot q^n$，代入化为等差数列求解。或针对含 $n$ 的多项式型递推，设合适形式的特解。

例：$a_{n+1} = 2a_n + 3^n$，$a_1 = 1$ → 设 $a_n = b_n \cdot 3^n$ 求解

八、特征根法（二阶线性递推）

$a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n$ 型：

特征方程 $r^2 - pr - q = 0$，两根 $r_1, r_2$：

• 不等实根：$a_n = C_1 r_1^n + C_2 r_2^n$
• 等根 $r_1 = r_2 = r_0$：$a_n = (C_1 + C_2 n)r_0^n$
• 共轭复根 $r = \rho e^{\pm i\theta}$：$a_n = \rho^n(C_1\cos n\theta + C_2\sin n\theta)$

例（斐波那契数列）：$F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$，$F_1 = F_2 = 1$ → $F_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$

九、倒数变换法

递推关系形如 $a_{n+1} = \dfrac{pa_n}{qa_n + r}$ 时，取倒数 $b_n = \dfrac{1}{a_n}$，化为线性递推。

例：$a_{n+1} = \dfrac{a_n}{2a_n + 1}$ → 令 $b_n = \dfrac{1}{a_n}$，得 $b_{n+1} = b_n + 2$，为等差数列。

十、对数变换法

递推关系含指数形式如 $a_{n+1} = p \cdot a_n^q$ 时，两边取对数化为线性递推。

例：$a_1 = 2$，$a_{n+1} = 3a_n^2$ → 取对数 $\ln a_{n+1} = \ln 3 + 2\ln a_n$，令 $b_n = \ln a_n$ 化为线性。

十一、不动点法

对分式线性递推 $a_{n+1} = \dfrac{pa_n + q}{ra_n + s}$：

解不动点方程 $x = \dfrac{px + q}{rx + s}$，得不动点 $x_1, x_2$：

• 若 $x_1 \neq x_2$：$\dfrac{a_{n+1} - x_1}{a_{n+1} - x_2} = k \cdot \dfrac{a_n - x_1}{a_n - x_2}$（等比数列）
• 若 $x_1 = x_2$：$\dfrac{1}{a_{n+1} - x_1} = \dfrac{1}{a_n - x_1} + k$（等差数列）

十二、数学归纳法

先通过观察或计算前几项猜测通项公式，然后使用数学归纳法进行严格证明：

1. 基础步骤：验证 $n = 1$ 时公式成立
2. 归纳步骤：假设 $n = k$ 时公式成立，证明 $n = k+1$ 时也成立
3. 由归纳原理，公式对所有正整数 $n$ 成立

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