高中数学第十章 §10.2　排列与组合

高中数学：排列与组合

排列与组合是组合数学的基础内容，也是高中数学概率统计章节的核心知识。掌握排列组合的计数原理和公式，是学好概率论的关键。

一、两个基本计数原理

完成一件事有 $n$ 类办法，第 $k$ 类办法有 $m_k$ 种方法（$k = 1,2,\ldots,n$），则完成这件事共有：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/0eb00f36e4.html

$N = m_1 + m_2 + \cdots + m_n$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/0eb00f36e4.html

完成一件事需要 $n$ 个步骤，第 $k$ 步有 $m_k$ 种方法（$k = 1,2,\ldots,n$），则完成这件事共有：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/0eb00f36e4.html

$N = m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_n$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/0eb00f36e4.html

二、排列

从 $n$ 个不同元素中取出 $m$（$m \leq n$）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/0eb00f36e4.html

从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的所有排列的个数，记作 $A_n^m$（或 $P_n^m$）：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/0eb00f36e4.html

$A_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \dfrac{n!}{(n-m)!}$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/0eb00f36e4.html

$n$ 个不同元素全部取出的排列叫做 $n$ 个元素的全排列：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/0eb00f36e4.html

$A_n^n = n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/0eb00f36e4.html

规定 $0! = 1$。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/0eb00f36e4.html

三、组合

从 $n$ 个不同元素中取出 $m$（$m \leq n$）个元素并成一组，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合。组合与顺序无关。

$C_n^m = \dfrac{A_n^m}{A_m^m} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-m+1)}{m!} = \dfrac{n!}{m!(n-m)!}$

性质1（对称性）：$C_n^m = C_n^{n-m}$

性质2（递推公式）：$C_n^m + C_n^{m-1} = C_{n+1}^m$

性质3（二项式系数和）：$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \cdots + C_n^n = 2^n$

四、排列与组合的区别

五、典型例题

例1：从5名学生中选3人排成一排，有多少种排法？

解：$A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 种。

例2：从5名学生中选3人组成代表队，有多少种选法？

解：$C_5^3 = \dfrac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ 种。

例3：用 0, 1, 2, 3, 4 这 5 个数字能组成多少个没有重复数字的三位数？

解：百位不能为 0，故先选百位（4种），再从剩余4个数字中选2个排列。总数为 $4 \times A_4^2 = 4 \times 12 = 48$ 个。