高中数学第八章 §8.5　垂直关系

高中数学：空间中的垂直关系

空间中的垂直关系是立体几何的核心内容，包括直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三个层次。掌握垂直关系的判定定理和性质定理，是求解空间几何问题的基础。

一、直线与平面垂直

如果一条直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 内的任意一条直线都垂直，则称直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 互相垂直，记作 $l \perp \alpha$。直线 $l$ 称为平面 $\alpha$ 的垂线，垂足为交点。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/0b13540c50.html

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/0b13540c50.html

若 $m \subset \alpha, n \subset \alpha, m \cap n = P$，且 $l \perp m, l \perp n$，则 $l \perp \alpha$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/0b13540c50.html

垂直于同一个平面的两条直线互相平行。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/0b13540c50.html

若 $a \perp \alpha, b \perp \alpha$，则 $a \parallel b$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/0b13540c50.html

二、三垂线定理

平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/0b13540c50.html

设 $PO$ 是平面 $\alpha$ 的垂线，$PA$ 是平面 $\alpha$ 的斜线，$OA$ 是 $PA$ 在平面 $\alpha$ 内的射影，若 $a \subset \alpha$ 且 $a \perp OA$，则 $a \perp PA$。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/0b13540c50.html

三、平面与平面垂直

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的大小用它所在的平面角来度量：在棱上任取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/0b13540c50.html

如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/0b13540c50.html

若 $l \perp \alpha$ 且 $l \subset \beta$，则 $\alpha \perp \beta$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/0b13540c50.html

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

若 $\alpha \perp \beta, \alpha \cap \beta = l, a \subset \alpha, a \perp l$，则 $a \perp \beta$

四、线线垂直

空间中两条异面直线所成的角：平移使其相交，所成的锐角（或直角）即为异面直线所成的角。若所成角为 $90^\circ$，则两条异面直线互相垂直。

五、核心定理体系总结