高中数学第九章 §9.3　圆的方程

高中数学：圆的方程

圆是最基本的平面几何图形之一。在解析几何中，我们通过方程来精确描述圆的位置和大小。圆的方程有三种常见形式：标准方程、一般方程和参数方程。

一、圆的标准方程

圆心为 $(a, b)$，半径为 $r$ 的圆的标准方程为：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/09dbcad48d.html

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/09dbcad48d.html

当圆心在原点 $(0, 0)$ 时，方程简化为：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/09dbcad48d.html

$x^2 + y^2 = r^2$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/09dbcad48d.html

二、圆的一般方程

圆的一般方程为：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/09dbcad48d.html

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/09dbcad48d.html

配方可得圆心和半径：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/09dbcad48d.html

• 圆心坐标：$\left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)$
• 半径：$r = \dfrac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$

当 $D^2 + E^2 - 4F > 0$ 时，方程表示实圆；等于 $0$ 时表示点圆；小于 $0$ 时无轨迹。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/09dbcad48d.html

三、圆的参数方程

圆心为 $(a, b)$，半径为 $r$ 的圆的参数方程为（$\theta$ 为参数）：文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/09dbcad48d.html

$\begin{cases} x = a + r\cos\theta \\ y = b + r\sin\theta \end{cases} \quad (0 \leq \theta < 2\pi)$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201908/09dbcad48d.html

四、点与圆的位置关系

设点 $P(x_0, y_0)$ 到圆心 $C(a, b)$ 的距离为 $d = \sqrt{(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2}$：

• $d < r$：点在圆内
• $d = r$：点在圆上
• $d > r$：点在圆外

五、直线与圆的位置关系

直线 $Ax + By + C = 0$ 与圆 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 的位置关系由圆心到直线的距离 $d$ 判定：

$d = \dfrac{|Aa + Bb + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

• $d < r$：相交（两个交点）
• $d = r$：相切（一个交点）
• $d > r$：相离（无交点）

六、圆的切线方程

过圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 上一点 $P(x_0, y_0)$ 的切线方程为：

$x_0x + y_0y = r^2$

过圆 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 上一点 $P(x_0, y_0)$ 的切线方程：

$(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2$