高等数学公式之三角函数的有理式积分和三角函数公式

高等数学公式 — 三角函数的有理式积分

一、万能代换公式

令 $t = \tan\dfrac{x}{2}$（$x \neq \pi + 2k\pi$），则：

$\sin x = \dfrac{2t}{1+t^2}$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/gaodengshuxuegongshizhisanjiaohanshudeyoulishijifenhesanjiaohanshugongshi.html

$\cos x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/gaodengshuxuegongshizhisanjiaohanshudeyoulishijifenhesanjiaohanshugongshi.html

$\tan x = \dfrac{2t}{1-t^2}$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/gaodengshuxuegongshizhisanjiaohanshudeyoulishijifenhesanjiaohanshugongshi.html

$dx = \dfrac{2}{1+t^2}dt$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/gaodengshuxuegongshizhisanjiaohanshudeyoulishijifenhesanjiaohanshugongshi.html

通过万能代换，任何三角函数有理式积分均可化为有理函数积分。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/gaodengshuxuegongshizhisanjiaohanshudeyoulishijifenhesanjiaohanshugongshi.html

二、基本三角函数积分公式

$\int \sin x dx = -\cos x + C$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/gaodengshuxuegongshizhisanjiaohanshudeyoulishijifenhesanjiaohanshugongshi.html

$\int \cos x dx = \sin x + C$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/gaodengshuxuegongshizhisanjiaohanshudeyoulishijifenhesanjiaohanshugongshi.html

$\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/gaodengshuxuegongshizhisanjiaohanshudeyoulishijifenhesanjiaohanshugongshi.html

$\int \cot x dx = \ln|\sin x| + C$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/gaodengshuxuegongshizhisanjiaohanshudeyoulishijifenhesanjiaohanshugongshi.html

$\int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201808/gaodengshuxuegongshizhisanjiaohanshudeyoulishijifenhesanjiaohanshugongshi.html

$\int \csc x dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$

三、三角函数恒等式

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

$\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$

$1 + \cot^2 x = \csc^2 x$

$\sin 2x = 2\sin x\cos x$

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$

积化和差与和差化积公式是解决三角函数积分的重要工具。

四、三角函数有理式的积分步骤

1. 若被积函数为 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的有理式，优先用万能代换
2. 若为 $\sin^m x\cos^n x$ 型，用降次或凑微分法
3. 若含 $\sqrt{a^2-x^2}$ 型，用三角换元 $x = a\sin t$
4. 若含 $\sqrt{a^2+x^2}$ 型，用三角换元 $x = a\tan t$