一元三次方程计算器_三次方程求根公式在线：Cardano法解 ax³+bx²+cx+d=0
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在线一元三次方程计算器，采用Cardano公式，输入四个系数一键求解ax³+bx²+cx+d=0的三个根。支持实数根和复数根，附判别式和求根公式详解。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201912/yiyuansancifangchengjisuanqi.html
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一元三次方程在线计算器
标准形式：ax³ + bx² + cx + d = 0文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201912/yiyuansancifangchengjisuanqi.html
输入四个系数，一键求出三个根（实数或复数）。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201912/yiyuansancifangchengjisuanqi.html
一元三次方程计算器
Cardano 求根公式详解
第一步：化为标准形式
方程两边同除以 a，化为：x³ + bx² + cx + d = 0文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201912/yiyuansancifangchengjisuanqi.html
第二步：计算判别式
- q = (3c − b²) / 9
- r = (−27d + b(9c − 2b²)) / 54
- 判别式 Δ = q³ + r²
第三步：根据 Δ 判断根的类型
情况一：Δ > 0（一个实根 + 两个共轭复根）文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201912/yiyuansancifangchengjisuanqi.html
- s = r + √Δ
- t = r − √Δ
- term1 = √3 × (−t + s) / 2
- r₁₃ = 2 × √q
x₁ = s^(1/3) + t^(1/3) − b/3文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201912/yiyuansancifangchengjisuanqi.html
x₂ 和 x₃ 为共轭复根。文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201912/yiyuansancifangchengjisuanqi.html
情况二：Δ = 0（三个实根，至少两个相等）文章源自公式库网-https://www.gongshiku.com/html/201912/yiyuansancifangchengjisuanqi.html
- r₁₃ = r^(1/3)（若 r < 0 取负值）
- x₁ = 2r₁₃ − b/3
- x₂ = x₃ = −r₁₃ − b/3
情况三：Δ < 0（三个不等实根）
- r₁₃ = 2 × √(−q)
- x₁ = r₁₃ × cos(θ/3) − b/3
- x₂ = r₁₃ × cos((θ + 2π)/3) − b/3
- x₃ = r₁₃ × cos((θ + 4π)/3) − b/3
- 其中 θ = arccos(r / √(−q³))
📐 当 Δ < 0 时出现"不可约情况"——三个根都是实数，但无法用实根式表示，必须借助三角函数。
计算示例
例一：一个实根 + 两个复根
x³ + 8x² + 16x + 10 = 0
Δ > 0，求得：x₁ ≈ −5.365，x₂,₃ ≈ −1.317 ± 0.358i
例二：三个不等实根
x³ − 6x² + 11x − 6 = 0
Δ < 0，求得：x₁ = 3，x₂ = 1，x₃ = 2
验证：(x−1)(x−2)(x−3) = x³ − 6x² + 11x − 6 ✓
常见问题
问：三次方程一定有实数根吗？
答：是的。实系数三次方程至少有一个实数根（因为三次函数从 −∞ 到 +∞ 必然穿过 x 轴）。
问：Cardano 公式和因式分解有什么区别？
答：因式分解只能解特殊的三次方程。Cardano 公式是通解，对任意系数都适用。
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