如何利用行列式计算三角形面积

如果已知平面中ABC三个点（或者说三个向量）的坐标

A（a₀,b₀），B（a₁, b₁），C（a₂, b₂）

那么这三个点围成的三角形的面积，可以由以下的行列式表示：

这两个行列式展开是一样的

这个问题实际上是在说，任给二维平面中的三个点，所围成的物体面积是多少？

为了讨论方便，画图直观，我们不妨把A的坐标设为原点，a₀=0,b₀=0

那么右边的行列式就变为：

二阶行列式代表列向量张成的平行四边形面积
其实熟悉行列式的朋友应该已经能看出来，上述行列式，很明显的，

就是向量AB（a₁,b₁) 和向量AC(a₂,b₂) 围成的平行四边形的面积。

所以平行四边形面积的一半，自然是三角形面积

二阶行列式代表了平行四边形ABCD的面积

那么来证明左边的行列式的一半也是三角形ABC的面积。

首先，由上我们知道，二阶行列式的值，是以两个列向量张成的平行四边形的（有向）面积

那么，类似地，三阶行列式，其实代表了三个列向量张成的平行六面体体积，我们把左边的行列式三个列向量拿出来：

(a₀,b₀,1)，(a₁,b₁,1)，(a₂,b₂,1)，

如果为了方便画图和讨论，我们扔把A平移到原点，

那么就构造出 AA'=(0,0,1），AB'=(a₁,b₁,1)，AC'=(a₂,b₂,1）三个向量张成的平行六面体

先说结论，这个六面体的体积的1/6，正好是以三角形ABC为底面的三棱锥

为什么呢？想象一个正方体，我们知道一个正方体可以切成两块三棱柱，而每个三棱柱，又可以切出三个三棱锥

仔细看上图中，正方体被分成两个三棱柱，而其中一个三棱柱又被分成三个三棱锥

所以1/3Sh（三棱锥体积）=1/6平行六面体体积=1/6 行列式的值

所以S=1/2行列式

三棱锥的高是1（因为最后一列是1），所以三棱锥的体积恰好和底面积相等